ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1525 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Докажите, что:

\( \sin^2\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \sin^2\left(\frac{4\pi}{3} — \alpha\right) = 1 \).

Доказательство:

Шаг 1: Начнем с выражения для второго угла: \( \frac{4\pi}{3} — \alpha \). Мы можем преобразовать его, используя формулу для углов, которые отличаются на \( \frac{\pi}{2} \). Вспомним, что:

• \( \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} \), поэтому:
• \( \frac{4\pi}{3} — \alpha = \frac{\pi}{2} — \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) \).

Таким образом, второе выражение можно переписать как \( \sin^2\left( \frac{3\pi}{2} — \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) \right) \), что позволяет нам применить тригонометрическое тождество для углов, добавляющих до \( \frac{\pi}{2} \).

Шаг 2: Теперь рассмотрим первые два слагаемых: \( \sin^2\left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) \) и \( \sin^2\left( \frac{3\pi}{2} — \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) \right) \). Мы знаем, что для любого угла \( x \), выполняется тождество:

\[
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1.
\]

В данном случае это означает, что сумма квадратов синуса и косинуса того же угла всегда равна единице. Используем это для угла \( \frac{\pi}{6} + \alpha \):

\[
\sin^2\left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) + \cos^2\left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) = 1.
\]

Шаг 3: Применим это к нашему выражению. Мы знаем, что:

\[
\sin^2\left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) + \sin^2\left( \frac{3\pi}{2} — \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) \right) =\]

\[\sin^2\left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) + \cos^2\left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) = 1.
\]

Шаг 4: Таким образом, выражение сводится к единице, что и требовалось доказать.

Ответ: \( {1} \)