ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1524 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Упростите выражения:

а) \( \sin(-220^\circ) \cos(50^\circ) + \cos(220^\circ) \sin(-50^\circ) + \tan(-40^\circ) \tan(50^\circ) \)

Шаг 1: Используем тождества для синуса и косинуса с отрицательными углами:

• \( \sin(-\theta) = -\sin(\theta) \)
• \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \)

Подставляем в выражение:

\[
\sin(-220^\circ) \cos(50^\circ) = -\sin(220^\circ) \cos(50^\circ), \quad \cos(220^\circ) \sin(-50^\circ) =\]

\[-\cos(220^\circ) \sin(50^\circ)
\]

Шаг 2: Перепишем выражение:

\[
-\sin(220^\circ) \cos(50^\circ) — \cos(220^\circ) \sin(50^\circ) + \tan(-40^\circ) \tan(50^\circ)
\]

Шаг 3: Используем формулы для синуса и косинуса суммы углов:

\[
\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)
\]

Таким образом, первая часть выражения равна \( -\sin(220^\circ + 50^\circ) = -\sin(270^\circ) = -(-1) = 1 \).

Шаг 4: Перепишем вторую часть:

\[
\tan(-40^\circ) = -\tan(40^\circ), \quad \tan(50^\circ)
\]

Используем тождество для тангенса и котангенса:
\( \tan(\theta) \cdot \cot(\theta) = 1 \), следовательно:
\[
-\tan(40^\circ) \cdot \tan(50^\circ) = -\cot(40^\circ) \cdot \cot(40^\circ)
\]

Ответ: \( 0 \)

б) \( \cot(245^\circ) \cdot \cot(205^\circ) \left( \sin(265^\circ) \cos(175^\circ) + \sin(5^\circ) \cos(95^\circ) \right) \)

Шаг 1: Используем тождества для углов больше 180°:

• \( \cot(245^\circ) = \tan(65^\circ) \)
• \( \cot(205^\circ) = \tan(25^\circ) \)
• \( \sin(265^\circ) = -\cos(5^\circ) \)
• \( \cos(175^\circ) = -\cos(5^\circ) \)
• \( \sin(5^\circ) = -\sin(5^\circ) \)

Подставляем в выражение:

\[
\tan(65^\circ) \cdot \tan(25^\circ) \left( -\cos(5^\circ) \cdot (-\cos(5^\circ)) + \sin(5^\circ) \cdot (-\sin(5^\circ)) \right)
\]

Шаг 2: Упростим выражение внутри скобок:

\[
-\cos^2(5^\circ) + \sin^2(5^\circ) = \cos^2(5^\circ) — \sin^2(5^\circ)
\]

Шаг 3: Используем тождество для косинуса двойного угла:

\[
\cos(2 \cdot 5^\circ) = \cos(10^\circ)
\]

Таким образом, выражение становится:

\[
\tan(65^\circ) \cdot \tan(25^\circ) \cdot \cos(10^\circ)
\]

Ответ: \( \cos(10^\circ) \)