ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1522 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Найдём значение выражения:

\(
\tan(10^\circ) \cdot \tan(20^\circ) \cdot \tan(30^\circ) \cdot \tan(40^\circ)\)

\(\cdot \tan(50^\circ) \cdot \tan(60^\circ) \cdot \tan(70^\circ) \cdot \tan(80^\circ)
\)

Шаг 1: Заметим симметричность:

\( \tan(80^\circ) = \cot(10^\circ) \)

\( \tan(70^\circ) = \cot(20^\circ) \)

\( \tan(60^\circ) = \cot(30^\circ) \)

\( \tan(50^\circ) = \cot(40^\circ) \)

Значит, произведение можно переписать:

\(
\tan(10^\circ)\cot(10^\circ) \cdot \tan(20^\circ)\cot(20^\circ) \cdot \tan(30^\circ)\)

\(\cot(30^\circ) \cdot \tan(40^\circ)\cot(40^\circ)
\)

Шаг 2: Каждая пара даёт \( 1 \), потому что \( \tan(x) \cdot \cot(x) = 1 \).

\(
1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1
\)

Ответ: \( 1 \)

б) Найдём значение:

\(
\cot(30^\circ) \cdot \cot(35^\circ) \cdot \cot(40^\circ) \cdot \cot(45^\circ)\)

\(\cdot \cot(50^\circ) \cdot \cot(55^\circ) \cdot \cot(60^\circ)
\)

Шаг 1: Перепишем часть углов через тангенсы дополняющих:

\( \cot(30^\circ) = \tan(60^\circ) \)

\( \cot(35^\circ) = \tan(55^\circ) \)

\( \cot(40^\circ) = \tan(50^\circ) \)

\( \cot(45^\circ) = \tan(45^\circ) = 1 \)

Тогда:

\(
\tan(60^\circ) \cdot \tan(55^\circ) \cdot \tan(50^\circ) \cdot 1 \cdot\)

\(\cot(50^\circ) \cdot \cot(55^\circ) \cdot \cot(60^\circ)
\)

Шаг 2: Сгруппируем:

\(
[\tan(60^\circ)\cot(60^\circ)] \cdot [\tan(55^\circ)\cot(55^\circ)] \cdot [\tan(50^\circ)\cot(50^\circ)] \cdot 1
\)

Каждая пара снова равна \( 1 \), значит:

\( 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \)

Ответ: \( 1 \)

в) Найдём:

\(
\sin^2(20^\circ) + \sin^2(30^\circ) + \sin^2(40^\circ) + \sin^2(50^\circ) + \sin^2(60^\circ) + \sin^2(70^\circ)
\)

Шаг 1: Используем парность значений:

\( \sin^2(70^\circ) = \cos^2(20^\circ) \)

\( \sin^2(60^\circ) = \cos^2(30^\circ) \)

\( \sin^2(50^\circ) = \cos^2(40^\circ) \)

Тогда сумма превращается в:

\(
\sin^2(20^\circ) + \sin^2(30^\circ) + \sin^2(40^\circ) + \cos^2(40^\circ) + \cos^2(30^\circ) + \cos^2(20^\circ)
\)

Поскольку \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \), каждая пара даёт 1:

\( 1 + 1 + 1 = 3 \)

Ответ: \( 3 \)

г) Найдём:

\(
\cos^2(21^\circ) + \cos^2(33^\circ) + \cos^2(45^\circ) + \cos^2(57^\circ) + \cos^2(69^\circ)
\)

Шаг 1: Используем, что \( \cos^2(x) = 1 — \sin^2(x) \), и пары с симметрией к \( 45^\circ \):

\( \cos^2(21^\circ) + \cos^2(69^\circ) = \cos^2(21^\circ) + \sin^2(21^\circ) = 1 \)

\( \cos^2(33^\circ) + \cos^2(57^\circ) = \cos^2(33^\circ) + \sin^2(33^\circ) = 1 \)

\( \cos^2(45^\circ) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \)

Суммируем:

\( 1 + 1 + \frac{1}{2} = 2.5 \)

Ответ: \( 2.5 \)