ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1521 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача:
Котангенс одного из смежных углов равен \( \cot(\alpha) = -3 \).
Найти: синус, косинус, тангенс и котангенс другого смежного угла \( \beta \).

Шаг 1: Свойство смежных углов:

Если два угла смежные, то их сумма равна \( 180^\circ \), то есть:
\[
\beta = 180^\circ — \alpha = \pi — \alpha
\]

По условию: \( \cot(\alpha) = -3 \)

1. Найдём \( \cot(\beta) \):

Используем формулу приведения:
\[
\cot(\pi — \alpha) = -\cot(\alpha)
\]

Тогда:

\[
\cot(\beta) = -(-3) = 3
\]

2. Найдём \( \sin(\beta) \):

Используем формулу:

\[
\sin(\beta) = \sqrt{ \frac{1}{1 + \cot^2(\beta)} }
\]

Подставим \( \cot(\beta) = 3 \Rightarrow \cot^2(\beta) = 9 \):

\[
\sin(\beta) = \sqrt{ \frac{1}{1 + 9} } = \sqrt{ \frac{1}{10} } = \frac{1}{\sqrt{10}}
\]

Так как угол \( \beta = \pi — \alpha \in (90^\circ; 180^\circ) \), то синус положителен (II четверть).

3. Найдём \( \cos(\beta) \):

Используем формулу:

\[
\cos(\beta) = \cot(\beta) \cdot \sin(\beta)
\]

Подставим:

\[
\cos(\beta) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}
\]

Проверим знак: во II четверти косинус отрицателен, значит:

\[
\cos(\beta) = -\frac{3}{\sqrt{10}}
\]

4. Найдём \( \tan(\beta) \):

\[
\tan(\beta) = \frac{1}{\cot(\beta)} = \frac{1}{3}
\]

Во II четверти тангенс отрицателен, следовательно:

\[
\tan(\beta) = -\frac{1}{3}
\]

Ответ:

• \( \sin(\beta) = \frac{1}{\sqrt{10}} \)
• \( \cos(\beta) = -\frac{3}{\sqrt{10}} \)
• \( \tan(\beta) = -\frac{1}{3} \)
• \( \cot(\beta) = 3 \)