ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1520 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача:
В равнобокой трапеции угол при одном основании имеет тангенс \( \tan(\alpha) = 0{,}8 \).
Найти: тангенс, котангенс, синус и косинус угла \( \beta \) при другом основании.

Шаг 1: Обозначим углы при основаниях трапеции как \( \alpha \) и \( \beta \).
Так как трапеция равнобокая, смежные углы при боковой стороне равны по сумме \( 180^\circ \):

\( \beta = 180^\circ — \alpha \Rightarrow \beta = \pi — \alpha \)

По условию:
\( \tan(\alpha) = 0.8 \)

1. Найдём \( \tan(\beta) \):

\(
\tan(\beta) = \tan(\pi — \alpha) = -\tan(\alpha)
\)

\(
\tan(\beta) = -0.8
\)

2. Найдём \( \cot(\beta) \):

\(
\cot(\beta) = \frac{1}{\tan(\beta)} = \frac{1}{-0.8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4} = -1.25
\)

3. Найдём \( \sin(\beta) \) через формулу:
\(
\sin^2(\beta) = \frac{1}{1 + \cot^2(\beta)}
\)

\(
\cot^2(\beta) = \left( \frac{5}{4} \right)^2 = \frac{25}{16}
\)

\(
\sin^2(\beta) = \frac{1}{1 + \frac{25}{16}} = \frac{1}{\frac{41}{16}} = \frac{16}{41}
\Rightarrow \sin(\beta) = \frac{4}{\sqrt{41}}
\)

Угол \( \beta = \pi — \alpha \in (90^\circ, 180^\circ) \), то есть II четверть — здесь синус положителен.

4. Найдём \( \cos(\beta) \) через формулу:
\(
\cos(\beta) = \cot(\beta) \cdot \sin(\beta)
\)

\(
\cos(\beta) = -\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{41}} = -\frac{5}{\sqrt{41}}
\)

Во II четверти косинус отрицателен — знак подтверждён.

Ответ:

• \( \tan(\beta) = -0.8 \)
• \( \cot(\beta) = -1.25 \)
• \( \sin(\beta) = \frac{4}{\sqrt{41}} \)
• \( \cos(\beta) = -\frac{5}{\sqrt{41}} \)