ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1519 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача:
Доказать, что значение выражения
\[
\frac{\sin^3(\alpha)(1 + \cot(\alpha)) + \cos^3(\alpha)(1 + \tan(\alpha))}{\sin(\alpha) + \cos(\alpha)}
\]
не зависит от \( \alpha \), то есть является постоянным числом.

Шаг 1: Выразим \( \cot(\alpha) \) и \( \tan(\alpha) \) через синус и косинус:

• \( \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \)
• \( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \)

Тогда исходное выражение примет вид:

\[
\frac{ \sin^3(\alpha)\left(1 + \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\right) + \cos^3(\alpha)\left(1 + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right) }{\sin(\alpha) + \cos(\alpha)}
\]

Шаг 2: Преобразуем каждое слагаемое числителя отдельно.

Первое слагаемое:

\[
\sin^3(\alpha)\left(1 + \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\right) = \sin^3(\alpha) + \sin^2(\alpha)\cos(\alpha)
\]

Второе слагаемое:

\[
\cos^3(\alpha)\left(1 + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right) = \cos^3(\alpha) + \cos^2(\alpha)\sin(\alpha)
\]

Теперь сложим оба:

\[
\sin^3(\alpha) + \cos^3(\alpha) + \sin^2(\alpha)\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)\sin(\alpha)
\]

Сгруппируем:

\[
(\sin^3(\alpha) + \cos^3(\alpha)) + \sin(\alpha)\cos(\alpha)(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))
\]

Шаг 3: Применим формулу суммы кубов:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)^3 — 3ab(a + b)
\]

Тогда:

\[
\sin^3(\alpha) + \cos^3(\alpha) = (\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^3 -\]

\[3\sin(\alpha)\cos(\alpha)(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))
\]

Вся числитель становится:

\[
(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^3 — 3\sin(\alpha)\cos(\alpha)(\sin(\alpha) +\]

\[\cos(\alpha)) + \sin(\alpha)\cos(\alpha)(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))
\]

Сгруппируем подобные:

\[
(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^3 — 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))
\]

Шаг 4: Вынесем \( \sin(\alpha) + \cos(\alpha) \) как общий множитель:

\[
(\sin(\alpha) + \cos(\alpha)) \cdot \left[ (\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 — 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \right]
\]

Теперь окончательно выразим исходную дробь:

\[
\frac{ (\sin(\alpha) + \cos(\alpha)) \cdot \left[ (\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 -2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \right] }{ \sin(\alpha) + \cos(\alpha) }
\]

Шаг 5: Сократим \( \sin(\alpha) + \cos(\alpha) \):

\[
(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 — 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)
\]

Раскроем квадрат:

\[
\sin^2(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha) — 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)
\]

По тождеству \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \), получаем:

\[
1 + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) — 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 1
\]

Ответ: значение выражения равно \( 1 \) при любом \( \alpha \); оно не зависит от \( \alpha \). Тождество доказано.