ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1518 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача:
Доказать, что выражение
\( \frac{\sin(\alpha) — \tan(\alpha)}{\cos(\alpha) — \cot(\alpha)} \)
не может принимать отрицательных значений, то есть всегда \( \geq 0 \).

Шаг 1: Преобразуем дробь, выразив \( \tan(\alpha) \) и \( \cot(\alpha) \) через синус и косинус:

\( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}, \quad \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \)

Тогда выражение принимает вид:

\[
\frac{\sin(\alpha) — \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{\cos(\alpha) — \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}
\]

Шаг 2: Приведём числитель и знаменатель к общему виду:

Числитель:

\[
\sin(\alpha) — \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \sin(\alpha)\left(1 — \frac{1}{\cos(\alpha)}\right) = \sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha) — 1}{\cos(\alpha)}
\]

Знаменатель:

\[
\cos(\alpha) — \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \cos(\alpha)\left(1 — \frac{1}{\sin(\alpha)}\right) = \cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha) — 1}{\sin(\alpha)}
\]

Подставим в исходную дробь:

\[
\frac{ \sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha) — 1}{\cos(\alpha)} }{ \cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha) — 1}{\sin(\alpha)} }
\]

Шаг 3: Упростим выражение:

Домножим числитель и знаменатель на \( \sin(\alpha)\cos(\alpha) \), чтобы избавиться от дробей:

\[
\frac{ \sin^2(\alpha)(1 — \cos(\alpha)) }{ \cos^2(\alpha)(1 — \sin(\alpha)) }
\]

Это выражение всегда неотрицательно, потому что:

• \( \sin^2(\alpha) \geq 0 \), \( \cos^2(\alpha) \geq 0 \)
• \( 1 — \cos(\alpha) \geq 0 \), \( 1 — \sin(\alpha) \geq 0 \) при \( \alpha \in [0, \frac{\pi}{2}] \)
• Если обе числитель и знаменатель положительны — дробь положительна
• Если обе нули — результат 0

Значит:

\[
\frac{\sin^2(\alpha)(1 — \cos(\alpha))}{\cos^2(\alpha)(1 — \sin(\alpha))} \geq 0
\]

Вывод: дробь всегда неотрицательна и не может быть отрицательной.

Ответ: доказано, выражение не принимает отрицательных значений.