ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1517 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Дано:
\( \tan^2(\alpha) — \cot^2(\alpha) = n \)

Найти:
1) \( \tan^2(\alpha) + \cot^2(\alpha) \)
2) \( \tan^3(\alpha) — \cot^3(\alpha) \)

1) Найдём \( \tan^2(\alpha) + \cot^2(\alpha) \)

Шаг 1: Рассмотрим сумму и разность квадратов:

\( (\tan^2(\alpha) + \cot^2(\alpha)) = (\tan^2(\alpha) -\)

\(\cot^2(\alpha)) + 2\cot^2(\alpha) \), но удобнее использовать формулу:

\( \tan^2(\alpha) + \cot^2(\alpha) = (\tan(\alpha) — \cot(\alpha))^2 + 2\tan(\alpha)\cot(\alpha) \)

Шаг 2: По условию \( \tan^2(\alpha) — \cot^2(\alpha) = n \), тогда:

Пусть \( x = \tan(\alpha), \quad y = \cot(\alpha) \), тогда:

\( x^2 — y^2 = n \Rightarrow (x — y)^2 = n^2 — 4xy \)

Но удобнее сразу воспользоваться тождеством:

\( x^2 + y^2 = (x — y)^2 + 2xy = n^2 + 2xy \)

Шаг 3: Вспомним:
\( \tan(\alpha)\cot(\alpha) = 1 \), так как:

\( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}, \quad \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \),
следовательно, произведение равно:
\( \tan(\alpha)\cot(\alpha) = 1 \)

Шаг 4: Подставим:

\( \tan^2(\alpha) + \cot^2(\alpha) = n^2 + 2 \cdot 1 = n^2 + 2 \)

Ответ: \( \tan^2(\alpha) + \cot^2(\alpha) = n^2 + 2 \)

2) Найдём \( \tan^3(\alpha) — \cot^3(\alpha) \)

Шаг 1: Используем формулу разности кубов:

\( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \)

В нашем случае:

\( a = \tan(\alpha), \quad b = \cot(\alpha) \)

Тогда:

\( \tan^3(\alpha) — \cot^3(\alpha) = (\tan(\alpha) — \cot(\alpha))(\tan^2(\alpha) +\)

\(\tan(\alpha)\cot(\alpha) + \cot^2(\alpha)) \)

Шаг 2: Вспомним, что:

• По условию: \( \tan^2(\alpha) — \cot^2(\alpha) = n \)
• Ранее найдено: \( \tan^2(\alpha) + \cot^2(\alpha) = n^2 + 2 \)
• \( \tan(\alpha)\cot(\alpha) = 1 \)

Тогда сумма в скобках равна:

\( \tan^2(\alpha) + \cot^2(\alpha) + 1 = n^2 + 2 + 1 = n^2 + 3 \)

И вся формула становится:

\( (\tan(\alpha) — \cot(\alpha)) \cdot (n^2 + 3) = n(n^2 + 3) \)

Ответ: \( \tan^3(\alpha) — \cot^3(\alpha) = n(n^2 + 3) \)