Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1516 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Известно, что \( \sin(\alpha) — \cos(\alpha) = m \). Найдите:
а) \( \sin(\alpha)\cos(\alpha) \);
б) \( \sin^3(\alpha) — \cos^3(\alpha) \).
Известно следующее:
\( \sin a — \cos a = m \);
а) \( \sin a \cos a = \frac{1 — (1 — 2 \sin a \cos a)}{2} \)
\( = \frac{1 — (\sin^2 a — 2 \sin a \cos a + \cos^2 a)}{2} \)
\( = \frac{1 — (\sin a — \cos a)^2}{2} = \frac{1 — m^2}{2} \);
Ответ: \( \frac{1 — m^2}{2} \).
б) \( \sin^3 a — \cos^3 a = \)
\( = (\sin a — \cos a)(\sin^2 a + \sin a \cos a + \cos^2 a) = \)
\( = m \left( 1 + \frac{1 — m^2}{2} \right) = m \cdot \frac{2 + 1 — m^2}{2} = \frac{3m — m^3}{2} \);
Ответ: \( \frac{3m — m^3}{2} \).
Дано:
\( \sin(\alpha) — \cos(\alpha) = m \)
а) Найти: \( \sin(\alpha)\cos(\alpha) \)
Шаг 1: Возведем данное уравнение в квадрат:
\( (\sin(\alpha) — \cos(\alpha))^2 = m^2 \)
Левая часть раскроется по формуле квадрата разности:
\( \sin^2(\alpha) — 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha) = m^2 \)
Шаг 2: Применим основное тригонометрическое тождество:
\( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \), тогда:
\( 1 — 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = m^2 \)
Шаг 3: Выразим искомое произведение:
\( 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 1 — m^2 \Rightarrow \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1 — m^2}{2} \)
Ответ: \( \frac{1 — m^2}{2} \)
б) Найти: \( \sin^3(\alpha) — \cos^3(\alpha) \)
Шаг 1: Используем формулу разности кубов:
\( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \)
В нашем случае:
\( a = \sin(\alpha), \quad b = \cos(\alpha) \), следовательно:
\( \sin^3(\alpha) — \cos^3(\alpha) = (\sin(\alpha) — \cos(\alpha)) \cdot (\sin^2(\alpha) + \sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)) \)
Шаг 2: Подставим известное:
- \( \sin(\alpha) — \cos(\alpha) = m \)
- \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \)
- \( \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1 — m^2}{2} \) из пункта а)
Тогда:
\( \sin^3(\alpha) — \cos^3(\alpha) = m \cdot \left(1 + \frac{1 — m^2}{2} \right) \)
Сложим внутри скобки:
\( 1 + \frac{1 — m^2}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1 — m^2}{2} = \frac{2 + 1 — m^2}{2} = \frac{3 — m^2}{2} \)
Теперь умножим на \( m \):
\( \sin^3(\alpha) — \cos^3(\alpha) = m \cdot \frac{3 — m^2}{2} = \frac{3m — m^3}{2} \)
Ответ: \( \frac{3m — m^3}{2} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.