ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1515 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите тождество:
а) \( \frac{1 — \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} \);
б) \( \frac{1 — 2\sin^2(\alpha)}{\cot(\alpha) — \tan(\alpha)} = \sin(\alpha)\cos(\alpha) \);
в) \( \frac{(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 — 1}{\cot(\alpha) — \sin(\alpha)\cos(\alpha)} = 2\tan^2(\alpha) \);
г) \( \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{\cot(\alpha) + \cot(\beta)} = \tan(\alpha)\tan(\beta) \).
Доказать тождество:
а) \( \frac{1 — \cos a}{\sin a} = \frac{\sin a}{1 + \cos a} \);
\( (1 — \cos a)(1 + \cos a) = \sin^2 a \);
\( 1 — \cos^2 a = \sin^2 a \);
\( \sin a = \sin^2 a \);
Тождество доказано.
б) \( \frac{1 — 2\sin^2 a}{\cot a — \tan a} = \sin a \cos a \);
\( \frac{\sin^2 a + \cos^2 a — 2\sin^2 a}{\frac{\cos a}{\sin a} — \frac{\sin a}{\cos a}} = \sin a \cos a \);
\( \frac{(\cos^2 a — \sin^2 a)\sin a \cos a}{\cos^2 a — \sin^2 a} = \sin a \cos a \);
\( \sin a \cos a = \sin a \cos a \);
Тождество доказано.
в) \( \frac{(\sin a + \cos a)^2 — 1}{\cot a — \sin a \cos a} = 2 \tan^2 a \);
\( \frac{\sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a — 1}{\frac{\cos a}{\sin a} — \sin a \cos a} = 2 \tan^2 a \);
\( 2 \sin a \cos a \cdot \frac{\sin a}{\cos a (1 — \sin^2 a)} = 2 \tan^2 a \);
\( \frac{2 \sin^2 a \cos a}{\cos a \cos^2 a} = 2 \tan^2 a \);
\( 2 \tan^2 a = 2 \tan^2 a \);
Тождество доказано.
г) \( \frac{\tan a + \tan \beta}{\cot a + \cot \beta} = \tan a \tan \beta \);
\( (\tan a + \tan \beta) \cdot \left( \frac{1}{\tan a} + \frac{1}{\tan \beta} \right) = \tan a \tan \beta \);
\( (\tan a + \tan \beta) \cdot \frac{\tan a \tan \beta}{\tan a + \tan \beta} = \tan a \tan \beta \);
\( \tan a \tan \beta = \tan a \tan \beta \);
Тождество доказано.
а) Доказать тождество:
\( \frac{1 — \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} \)
Шаг 1: Начнём с левой части:
\( \frac{1 — \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \)
Шаг 2: Умножим числитель и знаменатель левой части на сопряжённое выражение \( 1 + \cos(\alpha) \), чтобы избавиться от разности в числителе:
\(
\frac{1 — \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{1 + \cos(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} = \frac{(1 — \cos(\alpha))(1 + \cos(\alpha))}{\sin(\alpha)(1 + \cos(\alpha))}
\)
Шаг 3: Используем формулу разности квадратов в числителе:
\(
(1 — \cos(\alpha))(1 + \cos(\alpha)) = 1 — \cos^2(\alpha)
\)
Шаг 4: Основное тригонометрическое тождество:
\( 1 — \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha) \), значит:
\(
\frac{\sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)(1 + \cos(\alpha))} = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}
\)
Вывод: левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: да, тождество верно.
б) Доказать тождество:
\( \frac{1 — 2\sin^2(\alpha)}{\cot(\alpha) — \tan(\alpha)} = \sin(\alpha)\cos(\alpha) \)
Шаг 1: Преобразуем числитель:
Основное тождество: \( \cos^2(\alpha) = 1 — \sin^2(\alpha) \)
\(
1 — 2\sin^2(\alpha) = (1 — \sin^2(\alpha)) — \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha)
\)
Шаг 2: Выразим \( \cot(\alpha) \) и \( \tan(\alpha) \) через синус и косинус:
\(
\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}, \quad \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}
\)
Разность:
\(
\cot(\alpha) — \tan(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} — \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}
\)
Шаг 3: Подставим в исходное выражение:
\(
\frac{\cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha)}{\frac{\cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}} = \sin(\alpha)\cos(\alpha)
\)
Вывод: числитель и знаменатель сокращаются, результат равен правой части.
Тождество доказано.
Ответ: да, тождество верно.
в) Доказать тождество:
\( \frac{(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 — 1}{\cot(\alpha) — \sin(\alpha)\cos(\alpha)} = 2\tan^2(\alpha) \)
Шаг 1: Раскроем квадрат в числителе:
\(
(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha)
\)
Учитывая: \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \), получаем:
\(
1 + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)
\)
Тогда:
\(
(\sin + \cos)^2 — 1 = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)
\)
Шаг 2: Знаменатель:
\(
\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}
\)
\(
\cot(\alpha) — \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} — \sin(\alpha)\cos(\alpha)
\)
Приведём к общему знаменателю:
\(
= \frac{\cos(\alpha) — \sin^2(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)(1 — \sin^2(\alpha))}{\sin(\alpha)}
\)
И снова по тождеству \( 1 — \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha) \), получаем:
\(
= \frac{\cos(\alpha)\cdot\cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\cos^3(\alpha)}{\sin(\alpha)}
\)
Шаг 3: Всё выражение:
\(
\frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\frac{\cos^3(\alpha)}{\sin(\alpha)}} = \frac{2\sin^2(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos^3(\alpha)} = \frac{2\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = 2\tan^2(\alpha)
\)
Ответ: да, тождество верно.
г) Доказать тождество:
\( \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{\cot(\alpha) + \cot(\beta)} = \tan(\alpha)\tan(\beta) \)
Шаг 1: Заменим \( \cot \) на \( \frac{1}{\tan} \):
\(
\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}, \quad \cot(\beta) = \frac{1}{\tan(\beta)}
\)
Подставим в выражение:
\(
\frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{\frac{1}{\tan(\alpha)} + \frac{1}{\tan(\beta)}}
\)
Шаг 2: Приведём знаменатель к общему знаменателю:
\(
\frac{1}{\tan(\alpha)} + \frac{1}{\tan(\beta)} = \frac{\tan(\beta) + \tan(\alpha)}{\tan(\alpha)\tan(\beta)}
\)
Теперь выражение:
\(
\frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{\frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{\tan(\alpha)\tan(\beta)}}
\)
Шаг 3: Деление дробей:
\(
(\tan(\alpha) + \tan(\beta)) \cdot \frac{\tan(\alpha)\tan(\beta)}{\tan(\alpha) + \tan(\beta)} = \tan(\alpha)\tan(\beta)
\)
Вывод: левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: да, тождество верно.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.