ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1514 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \( \frac{\cot^2(\alpha) — \cos^2(\alpha)}{\tan^2(\alpha) — \sin^2(\alpha)} \);
б) \( \cos^2(\alpha) + \cot^2(\alpha) — \frac{1}{\sin^2(\alpha)} \);
в) \( 1 + \frac{1}{\cos^2(\alpha)} — \tan^2(\alpha) \);
г) \( \frac{2\sin^2(\alpha) — 1}{\sin(\alpha) + \cos(\alpha)} \).
Упростить выражение:
а) \( \frac{\cot^2 a — \cos^2 a}{\tan^2 a — \sin^2 a} = \frac{\cos^2 a — \cos^2 a}{\sin^2 a — \sin^2 a} = \frac{\cos^2 a (1 — \sin^2 a)}{\sin^2 a (1 — \cos^2 a)} = \)
\( = \frac{\cot^2 a \cdot \cos^2 a}{\tan^2 a \cdot \sin^2 a} = \cot^4 a \cdot \cot^2 a = \cot^6 a; \)
б) \( \cos^2 a + \cot^2 a — \frac{1}{\sin^2 a} = \frac{\cos^2 a \sin^2 a + \cos^2 a — 1}{\sin^2 a} = \)
\( = \frac{\cos^2 a \sin^2 a — \sin^2 a}{\sin^2 a} = \cos^2 a — 1 = -\sin^2 a; \)
в) \( 1 + \frac{1}{\cos^2 a} — \tan^2 a = \frac{\cos^2 a + 1 — \sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{2 \cos^2 a}{\cos^2 a} = 2; \)
г) \( \frac{2 \sin^2 a — 1}{\sin a + \cos a} = \frac{2 \sin^2 a — \sin^2 a — \cos^2 a}{\sin a + \cos a} = \frac{\sin^2 a — \cos^2 a}{\sin a + \cos a} = \)
\( = \frac{(\sin a — \cos a)(\sin a + \cos a)}{\sin a + \cos a} = \sin a — \cos a; \)
а) Упростить выражение: \( \frac{\cot^2(\alpha) — \cos^2(\alpha)}{\tan^2(\alpha) — \sin^2(\alpha)} \)
Шаг 1: Выразим \( \cot(\alpha) \) и \( \tan(\alpha) \) через синус и косинус:
\( \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \Rightarrow \cot^2(\alpha) = \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} \)
\( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \Rightarrow \tan^2(\alpha) = \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} \)
Шаг 2: Подставим в выражение:
\( \frac{\frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} — \cos^2(\alpha)}{\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} — \sin^2(\alpha)} \)
Шаг 3: Приведём числитель к общему знаменателю:
\( \frac{\cos^2(\alpha)\left( \frac{1 — \sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} \right)}{ \frac{\sin^2(\alpha)\left(1 — \cos^2(\alpha)\right)}{\cos^2(\alpha)} } \)
Шаг 4: По основному тригонометрическому тождеству: \( 1 — \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha) \), и \( 1 — \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha) \). Подставим:
\( \frac{\cos^2(\alpha) \cdot \cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} \div \frac{\sin^2(\alpha) \cdot \sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} \)
Шаг 5: Переведем деление в умножение:
\( \frac{\cos^4(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} \cdot \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^4(\alpha)} = \frac{\cos^6(\alpha)}{\sin^6(\alpha)} \)
Ответ: \( \cot^6(\alpha) \)
б) Упростить выражение: \( \cos^2(\alpha) + \cot^2(\alpha) — \frac{1}{\sin^2(\alpha)} \)
Шаг 1: Выразим \( \cot^2(\alpha) \) через тригонометрические функции:
\( \cot^2(\alpha) = \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} \)
Подставим всё в одно выражение:
\( \cos^2(\alpha) + \frac{\cos^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} — \frac{1}{\sin^2(\alpha)} \)
Шаг 2: Объединим дроби с общим знаменателем \( \sin^2(\alpha) \):
\( \cos^2(\alpha) + \frac{\cos^2(\alpha) — 1}{\sin^2(\alpha)} \)
Шаг 3: В числителе получаем \( \cos^2(\alpha) — 1 = -\sin^2(\alpha) \), поэтому:
\( \cos^2(\alpha) + \frac{-\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = \cos^2(\alpha) — 1 \)
А \( \cos^2(\alpha) — 1 = -\sin^2(\alpha) \)
Ответ: \( -\sin^2(\alpha) \)
в) Упростить выражение: \( 1 + \frac{1}{\cos^2(\alpha)} — \tan^2(\alpha) \)
Шаг 1: Выразим \( \tan^2(\alpha) \) как \( \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} \)
Подставим всё в выражение:
\( 1 + \frac{1}{\cos^2(\alpha)} — \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} \)
Шаг 2: Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} + \frac{1 — \sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = \frac{1 + \cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} \)
Шаг 3: По основному тождеству: \( 1 — \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha) \)
\( \frac{2\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)} = 2 \)
Ответ: \( 2 \)
г) Упростить выражение: \( \frac{2\sin^2(\alpha) — 1}{\sin(\alpha) + \cos(\alpha)} \)
Шаг 1: Используем тождество: \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \)
Тогда:
\( 2\sin^2(\alpha) — 1 = \sin^2(\alpha) — \cos^2(\alpha) \)
Теперь числитель: \( \sin^2(\alpha) — \cos^2(\alpha) \)
Шаг 2: В числителе разность квадратов:
\( \sin^2(\alpha) — \cos^2(\alpha) = (\sin(\alpha) — \cos(\alpha))(\sin(\alpha) + \cos(\alpha)) \)
Подставим в исходное выражение:
\( \frac{(\sin(\alpha) — \cos(\alpha))(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))}{\sin(\alpha) + \cos(\alpha)} \)
Сокращаем на \( \sin(\alpha) + \cos(\alpha) \) (если знаменатель не равен нулю):
\( \sin(\alpha) — \cos(\alpha) \)
Ответ: \( \sin(\alpha) — \cos(\alpha) \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.