ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1513 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Существует ли угол \( \alpha \), для которого:
а) \( \sin(\alpha) = \frac{m}{\sqrt{m^2 + n^2}} \) и \( \cos(\alpha) = \frac{n}{\sqrt{m^2 + n^2}} \);
б) \( \tan(\alpha) = \frac{m + 1}{m} \) и \( \cot(\alpha) = \frac{m}{m^2 + 1} \)?
Существует ли угол \( a \):
а) \( \sin a = \frac{m}{\sqrt{m^2 + n^2}}, \quad \cos a = \frac{n}{\sqrt{m^2 + n^2}}; \)
\( \sin^2 a + \cos^2 a = \frac{m^2}{m^2 + n^2} + \frac{n^2}{m^2 + n^2} = 1; \)
Ответ: да.
б) \( \tan a = m + \frac{1}{m}, \quad \cot a = \frac{m}{m^2 + 1}; \)
\( \tan a \cdot \cot a = \left(m + \frac{1}{m}\right) \cdot \frac{m}{m^2 + 1} = 1; \)
Ответ: да.
а) Существует ли угол \( \alpha \), для которого:
\( \sin(\alpha) = \frac{m}{\sqrt{m^2 + n^2}}, \quad \cos(\alpha) = \frac{n}{\sqrt{m^2 + n^2}} \)
Шаг 1: анализ структуры синуса и косинуса
Выражения для \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \) имеют вид отношения одной стороны прямоугольного треугольника к гипотенузе:
\( \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)
\( \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)
Гипотенуза выражена как \( \sqrt{m^2 + n^2} \), что соответствует теореме Пифагора. Это позволяет предположить, что данные значения могут быть сторонами треугольника, в котором угол \( \alpha \) действительно определён.
Шаг 2: проверим основное тригонометрическое тождество
Формула: \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \)
Подставим выражения:
\( \left( \frac{m}{\sqrt{m^2 + n^2}} \right)^2 + \left( \frac{n}{\sqrt{m^2 + n^2}} \right)^2 =
\frac{m^2}{m^2 + n^2} + \frac{n^2}{m^2 + n^2} \)
Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{m^2 + n^2}{m^2 + n^2} = 1 \)
Это означает, что значения синуса и косинуса корректно согласованы — они удовлетворяют основному тождеству и могут соответствовать реальному углу \( \alpha \).
Шаг 3: обоснование существования угла
Так как значения \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \) удовлетворяют условию \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \), и они оба лежат в допустимом диапазоне от \( -1 \) до \( 1 \), то угол \( \alpha \), для которого выполняются эти соотношения, существует.
Ответ: да, угол существует.
б) Существует ли угол \( \alpha \), для которого:
\( \tan(\alpha) = \frac{m + 1}{m} = m + \frac{1}{m}, \quad \cot(\alpha) = \frac{m}{m^2 + 1} \)
Шаг 1: проверка связи между тангенсом и котангенсом
Известно, что для любого угла \( \alpha \), у которого определены обе функции, выполняется тождество:
\( \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1 \)
Подставим выражения:
\( \left( m + \frac{1}{m} \right) \cdot \frac{m}{m^2 + 1} \)
Раскроем скобки:
\( = \left( m \cdot \frac{m}{m^2 + 1} \right) + \left( \frac{1}{m} \cdot \frac{m}{m^2 + 1} \right) \)
В первом слагаемом:
\( m \cdot \frac{m}{m^2 + 1} = \frac{m^2}{m^2 + 1} \)
Во втором слагаемом:
\( \frac{1}{m} \cdot \frac{m}{m^2 + 1} = \frac{1}{m^2 + 1} \)
Сумма двух дробей:
\( \frac{m^2}{m^2 + 1} + \frac{1}{m^2 + 1} = \frac{m^2 + 1}{m^2 + 1} = 1 \)
Шаг 2: вывод
Тождество \( \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) = 1 \) подтверждается. Значит, существует угол \( \alpha \), для которого \( \tan(\alpha) = m + \frac{1}{m} \) и \( \cot(\alpha) = \frac{m}{m^2 + 1} \), так как значения согласованы между собой.
Кроме того, оба выражения положительны при \( m > 0 \), и функции определены при \( m \neq 0 \). Это также подтверждает существование реального угла.
Ответ: да, угол существует.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.