ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1512 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \( \cos(13^\circ) — \sin(77^\circ) + \tan(50^\circ) + \cot(130^\circ) \);
б) \( \sin(-69^\circ) + \sin(-52^\circ) + \cos(21^\circ) + \cos(-38^\circ) \);
в) \( \sin(90^\circ + \alpha) + \tan(270^\circ + \alpha) + \cos(\alpha — 180^\circ) + \cot(360^\circ — \alpha) \);
г) \( 3\cos(\alpha) — \sin(\alpha — 30^\circ) — 3\cos(360^\circ — \alpha) + \sin(\alpha + 90^\circ) \);
д) \( \tan(\alpha — \pi) — \cos(\alpha — \pi) + \sin\left(\frac{\alpha}{2} — \pi\right) — \cot\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) \);
е) \( \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\sin\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right) + \cos(\alpha — \frac{\pi}{2})\sin(\alpha — \pi) \).
Упростить выражение:
а) \( \cos 13^\circ — \sin 77^\circ + \tan 50^\circ + \cot 130^\circ = \)
\( = \cos 13^\circ — \sin(90^\circ — 13^\circ) + \tan 50^\circ + \cot(180^\circ — 50^\circ) = \)
\( = \cos 13^\circ — \cos 13^\circ + \tan 50^\circ — \cot 50^\circ; \)
б) \( \sin(-69^\circ) + \sin(-52^\circ) + \cos 21^\circ + \cos(-38^\circ) = \)
\( = -\sin 69^\circ — \sin 52^\circ + \cos(90^\circ — 69^\circ) + \cos(90^\circ — 52^\circ) = \)
\( = -\sin 69^\circ — \sin 52^\circ + \sin 69^\circ + \sin 52^\circ = 0; \)
в) \( \sin(90^\circ + a) + \tan(270^\circ + a) + \cos(a — 180^\circ) + \cot(360^\circ — a) = \)
\( = \cos a — \cot a — \cos a — \cot a = -2 \cot a; \)
г) \( 3 \cos a — \sin(a — 30^\circ) — 3 \cos(360^\circ — a) + \sin(a + 90^\circ) = \)
\( = 3 \cos a — \sin a \cos 30^\circ + \cos a \sin 30^\circ — 3 \cos a + \cos a = \)
\( = -\frac{\sqrt{3}}{2} \sin a + \frac{1}{2} \cos a + \cos a = \frac{1}{2}(3 \cos a — \sqrt{3} \sin a); \)
д) \( \tan(\pi — a) — \cos(a — \pi) + \sin\left(\frac{\pi}{2} — a\right) — \cot\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = \)
\( = -\tan a + \cos a + \cos a + \tan a = 2 \cos a; \)
e) \( \sin\left(\frac{\pi}{2} + a\right) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2} — a\right) + \cos\left(a — \frac{\pi}{2}\right) \cdot \sin(a — \pi) = \)
\( = \cos a \cdot (-\cos a) + \sin a \cdot (-\sin a) = -\cos^2 a — \sin^2 a = -1; \)
а) Упростить выражение: \( \cos(13^\circ) — \sin(77^\circ) + \tan(50^\circ) + \cot(130^\circ) \)
Шаг 1: Распознаем связь между функциями:
\( \sin(77^\circ) = \cos(13^\circ) \), так как используется формула приведения: \( \sin(90^\circ — x) = \cos(x) \). Это означает, что первая пара членов уравновешивают друг друга: \( \cos(13^\circ) — \cos(13^\circ) = 0 \).
Шаг 2: Упростим \( \cot(130^\circ) \). Используем формулу:
\( \cot(180^\circ — x) = -\cot(x) \), отсюда:
\( \cot(130^\circ) = -\cot(50^\circ) \)
Шаг 3: Собираем все вместе:
\( 0 + \tan(50^\circ) — \cot(50^\circ) \)
Итоговое упрощённое выражение: \( \tan(50^\circ) — \cot(50^\circ) \)
б) Упростить выражение: \( \sin(-69^\circ) + \sin(-52^\circ) + \cos(21^\circ) + \cos(-38^\circ) \)
Шаг 1: Используем свойства чётности и нечётности:
Синус нечётная функция: \( \sin(-x) = -\sin(x) \)
Косинус чётная функция: \( \cos(-x) = \cos(x) \)
Подставим:
\( -\sin(69^\circ) — \sin(52^\circ) + \cos(21^\circ) + \cos(38^\circ) \)
Шаг 2: Используем дополняющие углы:
\( \cos(21^\circ) = \sin(69^\circ), \quad \cos(38^\circ) = \sin(52^\circ) \)
Следовательно:
\( -\sin(69^\circ) — \sin(52^\circ) + \sin(69^\circ) + \sin(52^\circ) = 0 \)
Итог: значение выражения равно нулю
в) Упростить выражение: \( \sin(90^\circ + \alpha) + \tan(270^\circ + \alpha) + \cos(\alpha — 180^\circ) + \cot(360^\circ — \alpha) \)
Шаг 1: Используем формулы приведения:
\( \sin(90^\circ + \alpha) = \cos(\alpha) \)
\( \tan(270^\circ + \alpha) = -\cot(\alpha) \)
\( \cos(\alpha — 180^\circ) = -\cos(\alpha) \)
\( \cot(360^\circ — \alpha) = -\cot(\alpha) \)
Шаг 2: Составим выражение:
\( \cos(\alpha) — \cot(\alpha) — \cos(\alpha) — \cot(\alpha) \)
Сокращаем:
\( \cos(\alpha) — \cos(\alpha) = 0 \), \( -\cot(\alpha) — \cot(\alpha) = -2\cot(\alpha) \)
Итог: \( -2\cot(\alpha) \)
г) Упростить выражение: \( 3\cos(\alpha) — \sin(\alpha — 30^\circ) — 3\cos(360^\circ — \alpha) + \sin(\alpha + 90^\circ) \)
Шаг 1: Распишем каждую функцию:
\( \cos(360^\circ — \alpha) = \cos(\alpha) \) — чётная функция
\( \sin(\alpha + 90^\circ) = \cos(\alpha) \) — по формуле приведения
\( \sin(\alpha — 30^\circ) = \sin(\alpha)\cos(30^\circ) — \cos(\alpha)\sin(30^\circ) \)
Известные значения:
\( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
Значит:
\( \sin(\alpha — 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\alpha) — \frac{1}{2}\cos(\alpha) \)
Шаг 2: Подставим всё в выражение:
\( 3\cos(\alpha) — \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\alpha) — \frac{1}{2}\cos(\alpha) \right) — 3\cos(\alpha) + \cos(\alpha) \)
Сократим:
\( = -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\alpha) + \frac{1}{2}\cos(\alpha) + \cos(\alpha) \)
\( = -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\alpha) + \frac{3}{2}\cos(\alpha) \)
Итог: \( \frac{1}{2}(3\cos(\alpha) — \sqrt{3}\sin(\alpha)) \)
д) Упростить выражение: \( \tan(\alpha — \pi) — \cos(\alpha — \pi) + \sin\left(\frac{\alpha}{2} — \pi\right) — \cot\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) \)
Шаг 1: Используем свойства периодичности и формулы приведения:
\( \tan(\alpha — \pi) = \tan(\alpha) \) — периодическая функция
\( \cos(\alpha — \pi) = -\cos(\alpha) \)
\( \sin\left(\frac{\alpha}{2} — \pi\right) = -\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \)
\( \cot\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \tan(\alpha) \)
Шаг 2: Подставим:
\( \tan(\alpha) + \cos(\alpha) — \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) — \tan(\alpha) \)
Сократим \( \tan(\alpha) \):
\( \cos(\alpha) — \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \)
Итог: \( \cos(\alpha) \)
е) Упростить выражение: \( \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\sin\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right) + \cos(\alpha — \frac{\pi}{2})\sin(\alpha — \pi) \)
Шаг 1: Преобразуем каждую функцию:
\( \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos(\alpha) \)
\( \sin\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right) = -\cos(\alpha) \)
\( \cos(\alpha — \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha) \)
\( \sin(\alpha — \pi) = -\sin(\alpha) \)
Шаг 2: Подставим:
\( \cos(\alpha)(-\cos(\alpha)) + \sin(\alpha)(-\sin(\alpha)) = -\cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha) \)
Сумма квадратов синуса и косинуса по основному тождеству: \( \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 \)
Значит:
\( -\cos^2(\alpha) — \sin^2(\alpha) = -1 \)
Итог: \( -1 \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.