ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1510 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
При каком значении \( x \) в промежутке:
а) \( \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) \) верно равенство \( \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \);
б) \( \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right) \) верно равенство \( \tan(x) = \frac{\sqrt{3}}{3} \);
в) \( \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right) \) верно равенство \( \cos(x) = -\frac{1}{2} \);
г) \( \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) \) верно равенство \( \cot(x) = -\sqrt{3} \)?
Найти значения \( x \):
а) \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right); \)
\( x = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}; \)
Ответ: \( \frac{2\pi}{3}. \)
б) \( \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad x \in \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right); \)
\( -\frac{\pi}{2} < x < 0, \quad \tan x < 0; \)
Ответ: \( \emptyset \)
в) \( \cos x = -\frac{1}{2}, \quad x \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right); \)
\( x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}; \)
Ответ: \( \frac{4\pi}{3}. \)
г) \( \cot x = -\sqrt{3}, \quad x \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right); \)
\( x = 2\pi — \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}; \)
Ответ: \( \frac{11\pi}{6}. \)
а) \( \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) \)
Функция \( \sin(x) \) принимает значение \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) при угле \( x = \frac{\pi}{3} \) в пределах периода. Это значение синуса положительно, значит, угол лежит в I или II четверти.
Но нам нужно значение \( x \) во втором четверти, так как \( x \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right) \). Во II четверти синус положителен, и соответствующий угол будет симметричным относительно вертикальной оси \( x = \frac{\pi}{2} \), то есть:
\( x = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \)
Ответ: \( \frac{2\pi}{3} \)
б) \( \tan(x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad x \in \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right) \)
Функция \( \tan(x) \) принимает значение \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) при угле \( x = \frac{\pi}{6} \). Тангенс положителен в I и III четвертях.
Нам дан промежуток \( \left(-\frac{\pi}{2}; 0\right) \), то есть IV и часть III четверти, но в этом интервале тангенс отрицателен.
Значение \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) не достигается на данном промежутке.
Ответ: \( \emptyset \) (решений нет)
в) \( \cos(x) = -\frac{1}{2}, \quad x \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right) \)
Косинус равен \( -\frac{1}{2} \) при углах, симметричных к \( \frac{\pi}{3} \), но в III и II четвертях.
На промежутке \( \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right) \) — это III четверть, где косинус отрицателен.
Тогда нужный угол: \( x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \)
Ответ: \( \frac{4\pi}{3} \)
г) \( \cot(x) = -\sqrt{3}, \quad x \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) \)
Функция \( \cot(x) = -\sqrt{3} \) при угле \( x = \frac{5\pi}{6} \), так как:
\( \cot\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)}{\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \)
Нам нужно найти это значение в интервале \( \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) \). Поскольку котангенс — периодическая функция с периодом \( \pi \), прибавим период:
\( x = \frac{5\pi}{6} + \pi = \frac{11\pi}{6} \)
Убедимся, что \( \frac{11\pi}{6} \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) \), то есть:
\( \frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} < \frac{11\pi}{6} < \frac{12\pi}{6} = 2\pi \)
Ответ: \( \frac{11\pi}{6} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.