ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1509 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выразите через тригонометрическую функцию угла \( \alpha \):

а) \( \sin(\alpha — \frac{\pi}{2}) \);

б) \( \cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) \);

в) \( \tan(\alpha — \pi) \);

г) \( \cot(\alpha + \pi) \);

д) \( \sin\left(\frac{5\pi}{2} — \alpha\right) \);

е) \( \cos\left(\alpha — \frac{5\pi}{2}\right) \);

ж) \( \tan\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right) \);

з) \( \cot\left(\frac{7\pi}{2} — \alpha\right) \).

Выразить через угол \( a \):

а) \( \sin\left(a — \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = -\cos a; \)

б) \( \cos\left(a + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = \sin a; \)

в) \( \tan(a — \pi) = -\tan(\pi — a) = \tan a; \)

г) \( \cot(a + \pi) = \cot(\pi + a) = \cot a; \)

д) \( \sin\left(\frac{5\pi}{2} — a\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = \cos a; \)

e) \( \cos\left(a — \frac{5\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + a\right) = \sin a; \)

ж) \( \tan\left(\frac{7\pi}{2} + a\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = -\cot a; \)

з) \( \cot\left(\frac{7\pi}{2} — a\right) = \cot\left(\frac{\pi}{2} — a\right) = \tan a; \)

а) \( \sin\left(\alpha — \frac{\pi}{2}\right) \)

Применяем формулу разности синусов:
\( \sin(x — y) = \sin x \cos y — \cos x \sin y \).

Подставляем \( x = \alpha \), \( y = \frac{\pi}{2} \):
\( \sin\left(\alpha — \frac{\pi}{2}\right) = \sin\alpha \cos\frac{\pi}{2} — \cos\alpha \sin\frac{\pi}{2} \).

Числовые значения:
\( \cos\frac{\pi}{2} = 0 \), \( \sin\frac{\pi}{2} = 1 \), поэтому:
\( \sin\left(\alpha — \frac{\pi}{2}\right) = \sin\alpha \cdot 0 — \cos\alpha \cdot 1 = -\cos\alpha \).

Итог:
\( \sin\left(\alpha — \frac{\pi}{2}\right) = -\cos\alpha \).

б) \( \cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) \)

Формула суммы косинусов:
\( \cos(x + y) = \cos x \cos y — \sin x \sin y \).

Подставляем \( x = \alpha \), \( y = \frac{3\pi}{2} \):
\( \cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\alpha \cos\frac{3\pi}{2} — \sin\alpha \sin\frac{3\pi}{2} \).

Значения:
\( \cos\frac{3\pi}{2} = 0 \), \( \sin\frac{3\pi}{2} = -1 \), поэтому:
\( = \cos\alpha \cdot 0 — \sin\alpha \cdot (-1) = \sin\alpha \).

Ответ:
\( \cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\alpha \).

в) \( \tan(\alpha — \pi) \)

Тангенс — периодическая функция с периодом \( \pi \): \( \tan(x \pm \pi) = \tan x \).

Более формально:
\( \tan(\alpha — \pi) = \frac{\sin(\alpha — \pi)}{\cos(\alpha — \pi)} \).

Используем формулы приведения:
\( \sin(\alpha — \pi) = -\sin\alpha \), \( \cos(\alpha — \pi) = -\cos\alpha \).

Следовательно:
\( \tan(\alpha — \pi) = \frac{-\sin\alpha}{-\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha \).

Ответ:
\( \tan(\alpha — \pi) = \tan\alpha \).

г) \( \cot(\alpha + \pi) \)

Котангенс — тоже периодическая функция с периодом \( \pi \): \( \cot(x + \pi) = \cot x \).

Проверим формально:
\( \cot(\alpha + \pi) = \frac{\cos(\alpha + \pi)}{\sin(\alpha + \pi)} \).

Формулы:
\( \cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha \), \( \sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha \).

Итак:
\( \cot(\alpha + \pi) = \frac{-\cos\alpha}{-\sin\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cot\alpha \).

Ответ:
\( \cot(\alpha + \pi) = \cot\alpha \).

д) \( \sin\left(\frac{5\pi}{2} — \alpha\right) \)

Приведём к аргументу, кратному периоду:
\( \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} \), значит
\( \sin\left(\frac{5\pi}{2} — \alpha\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2} — \alpha\right) \).

Период синуса \( 2\pi \), поэтому:
\( \sin(2\pi + x) = \sin x \), значит
\( \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2} — \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} — \alpha\right) \).

Используем формулу приведения:
\( \sin\left(\frac{\pi}{2} — \alpha\right) = \cos\alpha \).

Ответ:
\( \sin\left(\frac{5\pi}{2} — \alpha\right) = \cos\alpha \).

е) \( \cos\left(\alpha — \frac{5\pi}{2}\right) \)

Аналогично:
\( \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} \), так что
\( \alpha — \frac{5\pi}{2} = \alpha — 2\pi — \frac{\pi}{2} \).

Период косинуса — \( 2\pi \):
\( \cos(\alpha — 2\pi — \frac{\pi}{2}) = \cos(\alpha — \frac{\pi}{2}) \).

Формула разности косинусов:
\( \cos(x — y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \).
Подставляем \( y = \frac{\pi}{2} \):
\( \cos(\alpha — \frac{\pi}{2}) = \cos\alpha \cdot 0 + \sin\alpha \cdot 1 = \sin\alpha \).

Ответ:
\( \cos\left(\alpha — \frac{5\pi}{2}\right) = \sin\alpha \).

ж) \( \tan\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right) \)

\( \frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2} \), так что
\( \tan\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right) = \tan\left(3\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha\right) \).

Тангенс имеет период \( \pi \), а \( 3\pi \) — это три полных периода, не меняет функцию:
\( \tan(3\pi + x) = \tan x \), значит
\( \tan\left(3\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) \).

Формула:
\( \tan(\frac{\pi}{2} + x) = -\cot x \).

Ответ:
\( \tan\left(\frac{7\pi}{2} + \alpha\right) = -\cot\alpha \).

з) \( \cot\left(\frac{7\pi}{2} — \alpha\right) \)

Преобразуем:
\( \frac{7\pi}{2} — \alpha = 3\pi + \frac{\pi}{2} — \alpha \), как и выше.
Период котангенса — \( \pi \):
\( \cot(3\pi + x) = \cot x \), поэтому
\( \cot\left(3\pi + \frac{\pi}{2} — \alpha\right) = \cot\left(\frac{\pi}{2} — \alpha\right) \).

Формула:
\( \cot(\frac{\pi}{2} — x) = \tan x \).

Ответ:
\( \cot\left(\frac{7\pi}{2} — \alpha\right) = \tan\alpha \).