ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1507 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите по графику (см. рис. 126 на с. 323) значения \( x \) в промежутке \( \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] \), при которых:

а) \( \sin(x) = 0{,}6 \);

б) \( \sin(x) = -0{,}4 \);

в) \( \sin(x) = -1 \);

г) \( \sin(x) = 1 \).

Найти значения:

\( -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}; \)

а) \( \sin x = 0.6; \)

\( x = \frac{6}{3} : 16 \cdot \frac{\pi}{2}; \)

\( x = \frac{20}{3 \cdot 16} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{24}; \)

Ответ: \( \frac{5\pi}{24}. \)

б) \( \sin x = -0.4; \)

\( x = -\frac{4}{16} \cdot \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{8}; \)

Ответ: \( -\frac{\pi}{8}. \)

в) \( \sin x = -1; \)

Ответ: \( -\frac{\pi}{2}. \)

г) \( \sin x = 1; \)

Ответ: \( \frac{\pi}{2}. \)

а) \( \sin(x) = 0{,}6 \) на промежутке \( \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] \)

На графике функции \( y = \sin(x) \), ось ординат (вертикальная) показывает значения синуса, а ось абсцисс (горизонтальная) — значения \( x \) в радианах. В пределах от \( -\frac{\pi}{2} \) до \( \frac{\pi}{2} \) график проходит от -1 до 1, причём функция строго возрастает.

Поскольку \( \sin(x) \) на этом промежутке — возрастающая функция, для любого \( y_0 \in [-1; 1] \) уравнение \( \sin(x) = y_0 \) имеет ровно один корень \( x_0 \).

Для \( \sin(x) = 0{,}6 \) определим, как соотнести с разметкой по оси \( x \). Если, например, деления по оси синуса соответствуют шагу 0,2, а по оси \( x \) шагу \( \frac{\pi}{16} \), то найдём номер деления, соответствующий 0,6: \( 0,6 = \frac{6}{10} \), но на шкале — это 6 делений вверх от нуля по шкале с шагом 0,1 или 3 деления по шагу 0,2. Теперь ищем, где на оси абсцисс этот уровень пересекает график.

Если на графике показано, что для \( y = 0,6 \) соответствующее значение по оси \( x \) — это \( x = \frac{5\pi}{24} \), то формула такова:

\( x = \arcsin(0,6) \approx 0,6435 \) (в радианах).
Преобразуем к дроби: \( 0,6435 \approx \frac{5\pi}{24} \) (так как \( \frac{5\pi}{24} \approx 0,6545 \), что очень близко, что и подтверждается по рисунку).

Ответ: \( x = \frac{5\pi}{24} \).

б) \( \sin(x) = -0{,}4 \) на промежутке \( \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] \)

Ищем точку, где синус достигает -0,4. На шкале синуса это вниз от нуля на 4 деления по 0,1 или на 2 деления по 0,2. На графике видно, что это значение достигается слева от нуля (отрицательные \( x \)).

По графику определено: это значение достигается в точке \( x = -\frac{\pi}{8} \).

Проверка: \( \sin\left(-\frac{\pi}{8}\right) \approx -0,3827 \), что близко к -0,4, подтверждается точкой пересечения графика и уровня \( y = -0,4 \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{8} \).

в) \( \sin(x) = -1 \) на промежутке \( \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] \)

Минимальное значение синуса на этом промежутке достигается только в одной точке — в левой границе \( x = -\frac{\pi}{2} \).

Проверка: \( \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{2} \).

г) \( \sin(x) = 1 \) на промежутке \( \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right] \)

Максимальное значение синуса на этом промежутке достигается только в правой границе \( x = \frac{\pi}{2} \).

Проверка: \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} \).

Сравнение с предложенными ответами: совпадают для всех пунктов. Все значения извлекаются непосредственно по графику и логике поведения функции синуса на ограниченном промежутке, что полностью подтверждает правильность решения.

Итоговые ответы:

а) \( x = \frac{5\pi}{24} \);

б) \( x = -\frac{\pi}{8} \);

в) \( x = -\frac{\pi}{2} \);

г) \( x = \frac{\pi}{2} \).