ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1505 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сравните с нулём значение выражения:

а) \( \sin(300^\circ) \);

б) \( \cos(320^\circ) \);

в) \( \tan(201^\circ) \);

г) \( \cot(105^\circ) \);

д) \( \sin(155^\circ) \);

е) \( \cos(260^\circ) \);

ж) \( \tan(130^\circ) \);

з) \( \cot(190^\circ) \);

и) \( \cos(2{,}3\pi) \cdot \tan(0{,}8\pi) \);

к) \( \cot(2{,}1\pi) \cdot \sin(3{,}4\pi) \);

л) \( \sin(1{,}2\pi) \cdot \tan(3{,}4\pi) \);

м) \( \tan(1{,}7\pi) \cdot \sin(1{,}7\pi) \).

Сравнить с нулем:

а) \( \sin 300^\circ; \)

\( 270^\circ < 300^\circ < 360^\circ; \)

Ответ: \( \sin 300^\circ < 0. \)

б) \( \cos 320^\circ; \)

\( 270^\circ < 320^\circ < 360^\circ; \)

Ответ: \( \cos 320^\circ > 0. \)

в) \( \tan 201^\circ; \)

\( 180^\circ < 201^\circ < 270^\circ; \)

Ответ: \( \tan 201^\circ > 0. \)

г) \( \cot 105^\circ; \)

\( 90^\circ < 105^\circ < 180^\circ; \)

Ответ: \( \cot 105^\circ < 0. \)

д) \( \sin 155^\circ; \)

\( 90^\circ < 155^\circ < 180^\circ; \)

Ответ: \( \sin 155^\circ > 0. \)

e) \( \cos 260^\circ; \)

\( 180^\circ < 260^\circ < 270^\circ; \)

Ответ: \( \cos 260^\circ < 0. \)

ж) \( \tan 130^\circ; \)

\( 90^\circ < 130^\circ < 180^\circ; \)

Ответ: \( \tan 130^\circ < 0. \)

з) \( \cot 190^\circ; \)

\( 180^\circ < 190^\circ < 270^\circ; \)

Ответ: \( \cot 190^\circ > 0. \)

и) \( \cos 2.3\pi \cdot \tan 0.8\pi; \)

\( 2\pi < 2.3\pi < 2.5\pi, \quad \cos 2.3\pi > 0; \)

\( 0.5\pi < 0.8\pi < \pi, \quad \tan 0.8\pi < 0; \)

Ответ: \( \cos 2.3\pi \cdot \tan 0.8\pi < 0. \)

к) \( \cot 2.1\pi \cdot \sin 3.4\pi; \)

\( 2\pi < 2.1\pi < 2.5\pi, \quad \cot 2.1\pi > 0; \)

\( 3\pi < 3.4\pi < 3.5\pi, \quad \sin 3.4\pi < 0; \)

Ответ: \( \cot 2.1\pi \cdot \sin 3.4\pi < 0. \)

л) \( \sin 1.2\pi \cdot \tan 3.4\pi; \)

\( \pi < 1.2\pi < 1.5\pi, \quad \sin 1.2\pi < 0; \)

\( 3\pi < 3.4\pi < 3.5\pi, \quad \tan 3.4\pi > 0; \)

Ответ: \( \sin 1.2\pi \cdot \tan 3.4\pi < 0. \)

м) \( \tan 1.7\pi \cdot \sin 1.7\pi; \)

\( 1.5\pi < 1.7\pi < 2\pi, \quad \tan 1.7\pi < 0; \quad \sin 1.7\pi < 0; \)

Ответ: \( \tan 1.7\pi \cdot \sin 1.7\pi > 0. \)

а) \( \sin(300^\circ) \)

\( 300^\circ \) — это угол в четвёртой четверти, поскольку \( 270^\circ < 300^\circ < 360^\circ \). Синус положителен в I и II четвертях, а отрицателен в III и IV. Проверим знак:

Формально: \( \sin(300^\circ) = \sin(360^\circ — 60^\circ) = -\sin(60^\circ) < 0 \).

Следовательно, \( \sin(300^\circ) < 0 \).

б) \( \cos(320^\circ) \)

\( 320^\circ \) находится в четвёртой четверти: \( 270^\circ < 320^\circ < 360^\circ \). Косинус положителен в I и IV четвертях.

Преобразуем: \( \cos(320^\circ) = \cos(360^\circ — 40^\circ) = \cos(40^\circ) > 0 \).

Следовательно, \( \cos(320^\circ) > 0 \).

в) \( \tan(201^\circ) \)

\( 201^\circ \) — третья четверть (\( 180^\circ < 201^\circ < 270^\circ \)). В III четверти и синус, и косинус отрицательны, а их отношение положительно.

Формально: \( \tan(201^\circ) = \tan(180^\circ + 21^\circ) = \tan(21^\circ) > 0 \).

Следовательно, \( \tan(201^\circ) > 0 \).

г) \( \cot(105^\circ) \)

\( 105^\circ \) — вторая четверть (\( 90^\circ < 105^\circ < 180^\circ \)). В II четверти синус положителен, косинус отрицателен. Котангенс — отношение косинуса к синусу — будет отрицателен.

Формально: \( \cot(105^\circ) = \cot(180^\circ — 75^\circ) = -\cot(75^\circ) < 0 \).

Следовательно, \( \cot(105^\circ) < 0 \).

д) \( \sin(155^\circ) \)

\( 155^\circ \) — вторая четверть (\( 90^\circ < 155^\circ < 180^\circ \)). В II четверти синус положителен.

Формально: \( \sin(155^\circ) = \sin(180^\circ — 25^\circ) = \sin(25^\circ) > 0 \).

Следовательно, \( \sin(155^\circ) > 0 \).

е) \( \cos(260^\circ) \)

\( 260^\circ \) — третья четверть (\( 180^\circ < 260^\circ < 270^\circ \)). В III четверти косинус отрицателен.

Преобразуем: \( \cos(260^\circ) = \cos(180^\circ + 80^\circ) = -\cos(80^\circ) < 0 \).

Следовательно, \( \cos(260^\circ) < 0 \).

ж) \( \tan(130^\circ) \)

\( 130^\circ \) — вторая четверть (\( 90^\circ < 130^\circ < 180^\circ \)). В II четверти синус положителен, косинус отрицателен, значит тангенс отрицателен.

Формально: \( \tan(130^\circ) = \tan(180^\circ — 50^\circ) = -\tan(50^\circ) < 0 \).

Следовательно, \( \tan(130^\circ) < 0 \).

з) \( \cot(190^\circ) \)

\( 190^\circ \) — третья четверть (\( 180^\circ < 190^\circ < 270^\circ \)). В III четверти косинус и синус отрицательны, их отношение положительно.

Формально: \( \cot(190^\circ) = \cot(180^\circ + 10^\circ) = \cot(10^\circ) > 0 \).

Следовательно, \( \cot(190^\circ) > 0 \).

и) \( \cos(2{,}3\pi) \cdot \tan(0{,}8\pi) \)

\( 2{,}3\pi \): \( 2\pi < 2{,}3\pi < 2,5\pi \), четвёртая четверть. Косинус в четвёртой четверти положителен.

Преобразуем: \( 2{,}3\pi = 2\pi + 0{,}3\pi \), \( \cos(2{,}3\pi) = \cos(0{,}3\pi) > 0 \).

\( 0{,}8\pi \): \( 0,5\pi < 0,8\pi < \pi \), вторая четверть. Тангенс во второй четверти отрицателен.

Преобразуем: \( \tan(0{,}8\pi) = \tan(\pi — 0{,}2\pi) = -\tan(0{,}2\pi) < 0 \).

Произведение положительного и отрицательного знака даёт отрицательное число.

Следовательно, \( \cos(2{,}3\pi) \cdot \tan(0{,}8\pi) < 0 \).

к) \( \cot(2{,}1\pi) \cdot \sin(3{,}4\pi) \)

\( 2{,}1\pi \): \( 2\pi < 2,1\pi < 2,5\pi \), четвёртая четверть. Косинус положителен, синус отрицателен, котангенс положителен.

Преобразуем: \( \cot(2{,}1\pi) = \cot(0,1\pi) > 0 \).

\( 3,4\pi \): \( 3\pi < 3,4\pi < 3,5\pi \), четвёртая четверть, синус отрицателен.

Преобразуем: \( \sin(3,4\pi) = \sin(0,4\pi) < 0 \).

Произведение положительного и отрицательного числа даёт отрицательное значение.

Следовательно, \( \cot(2,1\pi) \cdot \sin(3,4\pi) < 0 \).

л) \( \sin(1,2\pi) \cdot \tan(3,4\pi) \)

\( 1,2\pi \): \( \pi < 1,2\pi < 1,5\pi \), третья четверть, синус отрицателен.

Преобразуем: \( \sin(1,2\pi) = \sin(0,2\pi) < 0 \).

\( 3,4\pi \): как выше, тангенс положителен (оба синус и косинус отрицательны).

Преобразуем: \( \tan(3,4\pi) = \tan(0,4\pi) > 0 \).

Произведение отрицательного и положительного числа — отрицательно.

Следовательно, \( \sin(1,2\pi) \cdot \tan(3,4\pi) < 0 \).

м) \( \tan(1,7\pi) \cdot \sin(1,7\pi) \)

\( 1,7\pi \): \( 1,5\pi < 1,7\pi < 2\pi \), четвёртая четверть.

В четвёртой четверти синус отрицателен, тангенс отрицателен (синус отрицателен, косинус положителен).

Формально: \( \tan(1,7\pi) < 0 \), \( \sin(1,7\pi) < 0 \).

Произведение двух отрицательных чисел даёт положительный результат.

Следовательно, \( \tan(1,7\pi) \cdot \sin(1,7\pi) > 0 \).