ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1504 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите в промежутке \( [-180^\circ; 270^\circ] \) корни уравнения:

а) \( \sin(x) = 0 \);

б) \( \cos(x) = 0 \);

в) \( \tan(x) = 0 \);

г) \( \cot(x) = 0 \).

Найти в промежутке:

\( x \in [-180^\circ; 270^\circ]; \)

а) \( \sin x = 0, \quad x = \pi n; \)

Ответ: \( -180^\circ; \, 0; \, 180^\circ. \)

б) \( \cos x = 0, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \)

Ответ: \( -90^\circ; \, 90^\circ; \, 270^\circ. \)

в) \( \tan x = 0, \quad x = \pi n; \)

Ответ: \( -180^\circ; \, 0; \, 180^\circ. \)

г) \( \cot x = 0, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \)

Ответ: \( -90^\circ; \, 90^\circ; \, 270^\circ. \)

а) Уравнение: \( \sin x = 0 \) на промежутке \( [-180^\circ; 270^\circ] \).

Теория: Корни уравнения \( \sin x = 0 \) во всех единицах измерения задаются формулой \( x = 180^\circ \cdot n \), где \( n \) — любое целое число. Это значит, что функция обращается в ноль во всех точках, где угол кратен \( 180^\circ \).

Подставляем значения \( n \), чтобы корни попали в указанный промежуток:

• Для \( n = -2 \): \( x = 180^\circ \cdot (-2) = -360^\circ \) (меньше левой границы, не подходит).
• Для \( n = -1 \): \( x = 180^\circ \cdot (-1) = -180^\circ \) (равно левой границе, подходит).
• Для \( n = 0 \): \( x = 0 \) (находится внутри промежутка, подходит).
• Для \( n = 1 \): \( x = 180^\circ \cdot 1 = 180^\circ \) (находится внутри промежутка, подходит).
• Для \( n = 2 \): \( x = 180^\circ \cdot 2 = 360^\circ \) (выходит за правую границу, не подходит).

В результате, единственные подходящие значения:

\( x = -180^\circ \), \( x = 0 \), \( x = 180^\circ \).

Каждый из этих углов соответствует точке на тригонометрической окружности, где синус принимает нулевое значение, то есть оси абсцисс (пересечение окружности с горизонтальной осью).

б) Уравнение: \( \cos x = 0 \) на промежутке \( [-180^\circ; 270^\circ] \).

Теория: Корни уравнения \( \cos x = 0 \) записываются в виде \( x = -90^\circ + 180^\circ \cdot n \), где \( n \) — целое число. Это точки, где косинус пересекает ось ординат (вертикальная ось окружности).

• Для \( n = -1 \): \( x = -90^\circ + 180^\circ \cdot (-1) = -90^\circ — 180^\circ = -270^\circ \) (меньше левой границы, не подходит).
• Для \( n = 0 \): \( x = -90^\circ \) (внутри промежутка, подходит).
• Для \( n = 1 \): \( x = -90^\circ + 180^\circ = 90^\circ \) (внутри промежутка, подходит).
• Для \( n = 2 \): \( x = -90^\circ + 360^\circ = 270^\circ \) (равно правой границе, подходит).
• Для \( n = 3 \): \( x = -90^\circ + 540^\circ = 450^\circ \) (больше правой границы, не подходит).

Корни на промежутке: \( x = -90^\circ \), \( x = 90^\circ \), \( x = 270^\circ \).

Каждое из этих значений — это точка, где косинус равен нулю, т.е. проекция на вертикальную ось обращается в ноль.

в) Уравнение: \( \tan x = 0 \) на промежутке \( [-180^\circ; 270^\circ] \).

Теория: Корни уравнения \( \tan x = 0 \) совпадают с корнями \( \sin x = 0 \), потому что \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \), и если \( \sin x = 0 \), то и \( \tan x = 0 \) (при \( \cos x \neq 0 \), но в этих точках это так). Следовательно, все значения \( x = 180^\circ \cdot n \).

• Для \( n = -1 \): \( x = -180^\circ \)
• Для \( n = 0 \): \( x = 0 \)
• Для \( n = 1 \): \( x = 180^\circ \)

Всё так же, как для синуса: \( x = -180^\circ; 0; 180^\circ \).

г) Уравнение: \( \cot x = 0 \) на промежутке \( [-180^\circ; 270^\circ] \).

Теория: Корни уравнения \( \cot x = 0 \) — это такие \( x \), где синус не равен нулю, а косинус обращается в ноль. Корни записываются в виде \( x = -90^\circ + 180^\circ \cdot n \).

• Для \( n = 0 \): \( x = -90^\circ \)
• Для \( n = 1 \): \( x = 90^\circ \)
• Для \( n = 2 \): \( x = 270^\circ \)

Корни: \( x = -90^\circ; 90^\circ; 270^\circ \).

Все эти точки соответствуют значениям, где катангенс функции (отношение косинуса к синусу) обращается в ноль — то есть, где синус максимален по модулю, а косинус равен нулю.

Промежуточные пояснения:

• Все точки легко проверяются подстановкой: например, \( \sin(-180^\circ) = 0 \), \( \cos(90^\circ) = 0 \), \( \tan(180^\circ) = 0 \), \( \cot(270^\circ) = 0 \).
• Для всех промежутков учтены границы — если левая/правая включены, корни на них принимаются.
• Все значения подобраны только из целочисленных кратных, попадающих в данный промежуток, остальные не учитываются.

Сравнение с ответом: все совпадает, приведённые ответы полные, лишних и пропущенных значений нет.

Итог:

а) \( \sin x = 0: \quad -180^\circ; \; 0; \; 180^\circ \)

б) \( \cos x = 0: \quad -90^\circ; \; 90^\circ; \; 270^\circ \)

в) \( \tan x = 0: \quad -180^\circ; \; 0; \; 180^\circ \)

г) \( \cot x = 0: \quad -90^\circ; \; 90^\circ; \; 270^\circ \)