ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1503 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите нули тригонометрических функций в промежутке:

а) \( [-360^\circ; 180^\circ] \);

б) \( (-180^\circ; 370^\circ) \);

в) \( \left[-\frac{\pi}{2}; 3\pi\right) \);

г) \( (0; 4\pi] \);

д) \( (-350^\circ; 350^\circ) \);

е) \( \left[-\frac{7\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right] \).

Найти нули в промежутке:

а) \([-360^\circ; 180^\circ]\);

\( \sin x = 0, \quad x_1 = -360^\circ; \, x_2 = \pm 180^\circ; \, x_3 = 0^\circ; \)

\( \cos x = 0, \quad x_1 = -270^\circ; \, x_2 = -90^\circ; \, x_3 = 90^\circ; \)

\( \tan x = 0, \quad x_1 = -360^\circ; \, x_2 = \pm 180^\circ; \, x_3 = 0^\circ; \)

\( \cot x = 0, \quad x_1 = -270^\circ; \, x_2 = -90^\circ; \, x_3 = 90^\circ; \)

б) \((-180^\circ; 370^\circ)\);

\( \sin x = 0, \quad x_1 = 0^\circ; \, x_2 = 180^\circ; \, x_3 = 360^\circ; \)

\( \cos x = 0, \quad x_1 = -90^\circ; \, x_2 = 90^\circ; \, x_3 = 270^\circ; \)

\( \tan x = 0, \quad x_1 = 0^\circ; \, x_2 = 180^\circ; \, x_3 = 360^\circ; \)

\( \cot x = 0, \quad x_1 = -90^\circ; \, x_2 = 90^\circ; \, x_3 = 270^\circ; \)

в) \(\left[-\frac{\pi}{2}; 3\pi\right)\);

\( \sin x = 0, \quad x_1 = 0; \, x_2 = \pi; \, x_3 = 2\pi; \)

\( \cos x = 0, \quad x_1 = \pm \frac{\pi}{2}; \, x_2 = \frac{3\pi}{2}; \, x_3 = \frac{5\pi}{2}; \)

\( \tan x = 0, \quad x_1 = 0; \, x_2 = \pi; \, x_3 = 2\pi; \)

\( \cot x = 0, \quad x_1 = \pm \frac{\pi}{2}; \, x_2 = \frac{3\pi}{2}; \, x_3 = \frac{5\pi}{2}; \)

г) \([0; 4\pi]\);

\( \sin x = 0, \quad x_1 = \pi; \, x_2 = 2\pi; \, x_3 = 3\pi; \, x_4 = 4\pi; \)

\( \cos x = 0, \quad x_1 = \frac{\pi}{2}; \, x_2 = \frac{3\pi}{2}; \, x_3 = \frac{5\pi}{2}; \, x_4 = \frac{7\pi}{2}; \)

\( \tan x = 0, \quad x_1 = \frac{\pi}{2}; \, x_2 = \frac{3\pi}{2}; \, x_3 = \frac{5\pi}{2}; \, x_4 = \frac{7\pi}{2}; \)

\( \cot x = 0, \quad x_1 = \frac{\pi}{2}; \, x_2 = \frac{3\pi}{2}; \, x_3 = \frac{5\pi}{2}; \, x_4 = \frac{7\pi}{2}; \)

д) \((-350^\circ; 350^\circ)\);

\( \sin x = 0, \quad x_1 = \pm 180^\circ; \, x_2 = 0; \)

\( \cos x = 0, \quad x_1 = \pm 270^\circ; \, x_2 = \pm 90^\circ; \)

\( \tan x = 0, \quad x_1 = \pm 180^\circ; \, x_2 = 0; \)

\( \cot x = 0, \quad x_1 = \pm 270^\circ; \, x_2 = \pm 90^\circ; \)

e) \(\left[-\frac{7\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right]\);

\( \sin x = 0, \quad x_1 = \pm 2\pi; \, x_2 = \pm \pi; \, x_3 = 0; \)

\( \cos x = 0, \quad x_1 = \pm \frac{3\pi}{2}; \, x_2 = -\frac{\pi}{2}; \, x_3 = \frac{\pi}{2}; \)

\( \tan x = 0, \quad x_1 = \pm 2\pi; \, x_2 = \pm \pi; \, x_3 = 0; \)

\( \cot x = 0, \quad x_1 = \pm \frac{3\pi}{2}; \, x_2 = -\frac{\pi}{2}; \, x_3 = \frac{\pi}{2}; \)

Нули тригонометрических функций определяются по их основным свойствам:

Нули функции — значения аргумента, при которых функция обращается в ноль.

Нули для стандартных тригонометрических функций:

• \( \sin x = 0 \Longleftrightarrow x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)
• \( \cos x = 0 \Longleftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)
• \( \tan x = 0 \Longleftrightarrow x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)
• \( \cot x = 0 \Longleftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

Переходим к подробному рассмотрению каждого пункта:

а) \( [-360^\circ; 180^\circ] \) (в градусах):

1. \( \sin x = 0 \)

Все решения вида \( x = 180^\circ \cdot n \), где \( n \) — целое число.

Найдём такие \( n \), чтобы \( x \) попал в промежуток \( [-360^\circ; 180^\circ] \):

При \( n = -2 \), \( x = -360^\circ \)
При \( n = -1 \), \( x = -180^\circ \)
При \( n = 0 \), \( x = 0^\circ \)
При \( n = 1 \), \( x = 180^\circ \)

Таким образом, нули: \( -360^\circ; -180^\circ; 0^\circ; 180^\circ \).

2. \( \cos x = 0 \)

Все решения вида \( x = -90^\circ + 180^\circ \cdot n \).

При \( n = -2 \), \( x = -90^\circ + 180^\circ \cdot (-2) = -90^\circ — 360^\circ = -450^\circ \) (вне промежутка)
При \( n = -1 \), \( x = -90^\circ + 180^\circ \cdot (-1) = -90^\circ — 180^\circ = -270^\circ \)
При \( n = 0 \), \( x = -90^\circ \)
При \( n = 1 \), \( x = 90^\circ \)
При \( n = 2 \), \( x = 270^\circ \) (вне промежутка)

В промежутке: \( -270^\circ; -90^\circ; 90^\circ \).

3. \( \tan x = 0 \)

Та же формула, что и для \( \sin x = 0 \): \( x = 180^\circ \cdot n \).

Значения: \( -360^\circ; -180^\circ; 0^\circ; 180^\circ \).

4. \( \cot x = 0 \)

Та же формула, что и для \( \cos x = 0 \): \( x = -90^\circ + 180^\circ \cdot n \).

Значения: \( -270^\circ; -90^\circ; 90^\circ \).

б) \( (-180^\circ; 370^\circ) \) (в градусах, не включительно):

1. \( \sin x = 0 \):

Нули при \( x = 0^\circ; 180^\circ; 360^\circ \).
Поскольку промежуток открытый, не берём \( -180^\circ \) и \( 370^\circ \).
Значения в пределах: \( 0^\circ; 180^\circ; 360^\circ \).

2. \( \cos x = 0 \):

Нули при \( x = -90^\circ; 90^\circ; 270^\circ \).

3. \( \tan x = 0 \):

Нули совпадают с \( \sin x = 0 \): \( 0^\circ; 180^\circ; 360^\circ \).

4. \( \cot x = 0 \):

Нули совпадают с \( \cos x = 0 \): \( -90^\circ; 90^\circ; 270^\circ \).

в) \( \left[-\frac{\pi}{2}; 3\pi\right) \) (в радианах):

1. \( \sin x = 0 \):

Ищем такие \( x = \pi n \), которые попадают в этот промежуток:

При \( n = 0 \), \( x = 0 \)
При \( n = 1 \), \( x = \pi \)
При \( n = 2 \), \( x = 2\pi \)

\( n = 3 \Rightarrow x = 3\pi \), но 3π не входит, так как правая граница не включена.

Также для левой границы: \( n = -1 \), \( x = -\pi \) (не входит, потому что \( -\frac{\pi}{2} > -\pi \)).
Ответ: \( 0; \pi; 2\pi \).

2. \( \cos x = 0 \):

Нули при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \):

При \( n = -1 \), \( x = -\frac{\pi}{2} \) (входит, так как левая граница включена)

При \( n = 0 \), \( x = \frac{\pi}{2} \)
При \( n = 1 \), \( x = \frac{3\pi}{2} \)
При \( n = 2 \), \( x = \frac{5\pi}{2} \) (так как \( \frac{5\pi}{2} \approx 2.5\pi < 3\pi \))

Следующее \( x = \frac{7\pi}{2} > 3\pi \).

Ответ: \( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2} \).

3. \( \tan x = 0 \):

Совпадает с \( \sin x = 0 \): \( 0; \pi; 2\pi \).

4. \( \cot x = 0 \):

Совпадает с \( \cos x = 0 \): \( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2} \).

г) \( (0; 4\pi] \) (в радианах, 0 не входит, 4π включается):

1. \( \sin x = 0 \):

Все \( x = \pi n \), \( n = 1, 2, 3, 4 \Rightarrow x = \pi; 2\pi; 3\pi; 4\pi \).

2. \( \cos x = 0 \):

Все \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), \( n = 0, 1, 2, 3 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \).

3. \( \tan x = 0 \):

Та же формула, что и для синуса: \( \pi; 2\pi; 3\pi; 4\pi \).

4. \( \cot x = 0 \):

Та же формула, что и для косинуса: \( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \).

д) \( (-350^\circ; 350^\circ) \) (градусы, обе границы не включены):

1. \( \sin x = 0 \):

Внутри промежутка: \( -180^\circ; 0^\circ; 180^\circ \).

2. \( \cos x = 0 \):

Внутри: \( -270^\circ; -90^\circ; 90^\circ; 270^\circ \).

3. \( \tan x = 0 \):

Внутри: \( -180^\circ; 0^\circ; 180^\circ \).

4. \( \cot x = 0 \):

Внутри: \( -270^\circ; -90^\circ; 90^\circ; 270^\circ \).

е) \( \left[-\frac{7\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right] \) (в радианах):

1. \( \sin x = 0 \):

Все значения \( x = \pi n \), где \( n \) — такие, что \( x \in \left[-\frac{7\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}\right] \).

\( \frac{7\pi}{3} \approx 2.333\pi \).
Возможные значения: \( n = -2, -1, 0, 1, 2 \)

Получаем: \( x = -2\pi; -\pi; 0; \pi; 2\pi \).

2. \( \cos x = 0 \):

Все значения \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \). Проверяем, попадают ли в промежуток:

Для \( n = -2 \): \( x = \frac{\pi}{2} — 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \)
\( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{2} — \pi = -\frac{\pi}{2} \)
\( n = 0 \): \( x = \frac{\pi}{2} \)
\( n = 1 \): \( x = \frac{3\pi}{2} \)
\( n = 2 \): \( x = \frac{5\pi}{2} \) (уже больше границы)

Ответ: \( -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \).

3. \( \tan x = 0 \):

Как и \( \sin x = 0 \): \( -2\pi; -\pi; 0; \pi; 2\pi \).

4. \( \cot x = 0 \):

Как и \( \cos x = 0 \): \( -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \).