ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1502 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Чему равно значение выражения:

а) \( \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) \);

б) \( \cot\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) \);

в) \( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) — \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \);

г) \( \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) — \cot\left(-\frac{\pi}{3}\right) \)?

Найти значение выражения:

а) \( \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} — \tan\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} — 1 = -\frac{2 + \sqrt{3}}{2}; \)

б) \( \cot\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\cot\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{6} = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}; \)

в) \( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) — \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{3} + \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1; \)

г) \( \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) — \cot\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cot\frac{\pi}{3} — \tan\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} — \sqrt{3} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}; \)

Задача

Чему равно значение выражения:

а) \( \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) \);
б) \( \cot\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) \);
в) \( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) — \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \);
г) \( \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) — \cot\left(-\frac{\pi}{3}\right) \)?

Решение

а) \( \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) \)

Используем свойства нечетности синуса и тангенса:
\( \sin(-x) = -\sin(x) \),
\( \tan(-x) = -\tan(x) \).

Следовательно:
\( \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\tan\frac{\pi}{4} = -1 \)

Складываем:
\( -\frac{\sqrt{3}}{2} — 1 = -\frac{\sqrt{3} + 2}{2} \)

Ответ: \( -\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \)

б) \( \cot\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) \)

Используем свойства:
\( \cot(-x) = -\cot(x) \),
\( \cos(-x) = \cos(x) \)

\( \cot\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\cot\frac{\pi}{6} = -\sqrt{3} \)
\( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Складываем:
\( -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{2\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

в) \( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) — \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \)

Используем свойства четности косинуса и нечетности синуса:
\( \cos(-x) = \cos(x) \),
\( \sin(-x) = -\sin(x) \)

\( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \)
\( \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} \)

Подставляем:
\( \frac{1}{2} — (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \)

Ответ: \( 1 \)

г) \( \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) — \cot\left(-\frac{\pi}{3}\right) \)

Используем свойства:
\( \tan(-x) = -\tan(x) \),
\( \cot(-x) = -\cot(x) \)

\( \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\tan\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3} \)
\( \cot\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\cot\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)

Вычтем:
\( -\sqrt{3} — (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \)

Приведём к общему знаменателю:
\( -\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} \)

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):
\( -\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \)

Ответ: \( -\frac{2\sqrt{3}}{3} \)

ответы

а) \( \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} — \tan\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} — 1 = -\frac{2 + \sqrt{3}}{2}; \)

б) \( \cot\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\cot\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{6} = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}; \)

в) \( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) — \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{3} + \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1; \)

г) \( \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) — \cot\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cot\frac{\pi}{3} — \tan\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} — \sqrt{3} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}; \)