ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1501 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \( \tan(553^\circ) \);

б) \( \cos(745^\circ) \);

в) \( \sin(442^\circ) \);

г) \( \cot(-525^\circ) \);

д) \( \tan\left(\frac{16\pi}{5}\right) \);

е) \( \cos\left(-\frac{41\pi}{7}\right) \).

Упростить выражение:

а) \( \tan 553^\circ = \tan(3 \cdot 180^\circ + 13^\circ) = \tan 13^\circ; \)

б) \( \cos 745^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 25^\circ) = \cos 25^\circ; \)

в) \( \sin 442^\circ = \sin(360^\circ + 82^\circ) = \sin 82^\circ; \)

г) \( \cot(-525^\circ) = -\cot(3 \cdot 180^\circ — 15^\circ) = \cot 15^\circ; \)

д) \( \tan \frac{16\pi}{5} = \tan \frac{15\pi + \pi}{5} = \tan \left(3\pi + \frac{\pi}{5}\right) = \tan \frac{\pi}{5}; \)

e) \( \cos \left(-\frac{41\pi}{7}\right) = \cos \left(6\pi — \frac{\pi}{7}\right) = \cos \frac{\pi}{7}; \)

Задача

Упростите выражение:

а) \( \tan(553^\circ) \);
б) \( \cos(745^\circ) \);
в) \( \sin(442^\circ) \);
г) \( \cot(-525^\circ) \);
д) \( \tan\left(\frac{16\pi}{5}\right) \);
е) \( \cos\left(-\frac{41\pi}{7}\right) \).

Решение

а) \( \tan(553^\circ) \)

Функция тангенса периодична с периодом \( 180^\circ \):
\( \tan(\theta) = \tan(\theta + 180^\circ \cdot n),\; n \in \mathbb{Z} \).

Найдём остаток от деления 553 на 180:
\( 553^\circ = 3 \cdot 180^\circ + 13^\circ \), т.е. \( 553^\circ — 3 \cdot 180^\circ = 13^\circ \).

Значит,
\( \tan(553^\circ) = \tan(3 \cdot 180^\circ + 13^\circ) = \tan(13^\circ) \).

Ответ: \( \tan 13^\circ \)

б) \( \cos(745^\circ) \)

Косинус — периодическая функция с периодом \( 360^\circ \):
\( \cos(\theta) = \cos(\theta + 360^\circ \cdot n) \).

Рассчитаем целое число оборотов:
\( 745^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 25^\circ \), потому что \( 2 \cdot 360^\circ = 720^\circ \), \( 745^\circ — 720^\circ = 25^\circ \).

Таким образом,
\( \cos(745^\circ) = \cos(2 \cdot 360^\circ + 25^\circ) = \cos(25^\circ) \).

Ответ: \( \cos 25^\circ \)

в) \( \sin(442^\circ) \)

Синус — периодическая функция с периодом \( 360^\circ \):
\( \sin(\theta) = \sin(\theta + 360^\circ \cdot n) \).

\( 442^\circ = 360^\circ + 82^\circ \), так как \( 442^\circ — 360^\circ = 82^\circ \).

Значит,
\( \sin(442^\circ) = \sin(360^\circ + 82^\circ) = \sin(82^\circ) \).

Ответ: \( \sin 82^\circ \)

г) \( \cot(-525^\circ) \)

Котангенс периодичен с периодом \( 180^\circ \):
\( \cot(\theta) = \cot(\theta + 180^\circ \cdot n) \).

Для отрицательного угла воспользуемся свойством:
\( \cot(-\theta) = -\cot(\theta) \).

Сначала найдём остаток:
\( 525^\circ = 3 \cdot 180^\circ — 15^\circ \), потому что \( 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ \), \( 525^\circ — 540^\circ = -15^\circ \).

Тогда:
\( \cot(-525^\circ) = -\cot(525^\circ) = -\cot(3 \cdot 180^\circ — 15^\circ) \).

Котангенс нечетная функция, его период не влияет на знак:
\( \cot(180^\circ — \theta) = -\cot(\theta) \), значит:
\( -\cot(3 \cdot 180^\circ — 15^\circ) = -(-\cot(15^\circ)) = \cot(15^\circ) \).

Ответ: \( \cot 15^\circ \)

д) \( \tan\left(\frac{16\pi}{5}\right) \)

Период тангенса — \( \pi \):
\( \tan(x) = \tan(x + n\pi) \).

Разделим числитель на знаменатель:
\( \frac{16\pi}{5} = \frac{15\pi}{5} + \frac{\pi}{5} = 3\pi + \frac{\pi}{5} \).

Следовательно,
\( \tan\left(\frac{16\pi}{5}\right) = \tan(3\pi + \frac{\pi}{5}) = \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) \).

Ответ: \( \tan \frac{\pi}{5} \)

е) \( \cos\left(-\frac{41\pi}{7}\right) \)

Косинус — чётная функция, \( \cos(-x) = \cos(x) \). Его период — \( 2\pi \).

Разделим числитель:
\( \frac{41\pi}{7} = 5 \cdot \frac{7\pi}{7} + \frac{6\pi}{7} = 5\pi + \frac{6\pi}{7} \).
Но нам нужно, чтобы аргумент был на интервале длиной \( 2\pi \), поэтому рассмотрим:
\( 6\pi — \frac{\pi}{7} = \frac{42\pi}{7} — \frac{\pi}{7} = \frac{41\pi}{7} \).

Значит,
\( \cos\left(-\frac{41\pi}{7}\right) = \cos\left(\frac{41\pi}{7}\right) = \cos\left(6\pi — \frac{\pi}{7}\right) \).

Воспользуемся формулой косинуса разности:
\( \cos(2\pi k — x) = \cos(x) \) для целого \( k \), поскольку косинус — чётная и периодическая функция.

Следовательно,
\( \cos\left(6\pi — \frac{\pi}{7}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) \).

Ответ: \( \cos \frac{\pi}{7} \)

ответы

а) \( \tan 553^\circ = \tan(3 \cdot 180^\circ + 13^\circ) = \tan 13^\circ; \)

б) \( \cos 745^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ + 25^\circ) = \cos 25^\circ; \)

в) \( \sin 442^\circ = \sin(360^\circ + 82^\circ) = \sin 82^\circ; \)

г) \( \cot(-525^\circ) = -\cot(3 \cdot 180^\circ — 15^\circ) = \cot 15^\circ; \)

д) \( \tan \frac{16\pi}{5} = \tan \frac{15\pi + \pi}{5} = \tan \left(3\pi + \frac{\pi}{5}\right) = \tan \frac{\pi}{5}; \)

e) \( \cos \left(-\frac{41\pi}{7}\right) = \cos \left(6\pi — \frac{\pi}{7}\right) = \cos \frac{\pi}{7}; \)