ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1500 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) \( \sin(\alpha) + \cos(\alpha) > 1 \), если \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \);

б) \( \tan(\alpha) + \cot(\alpha) \geq 2 \), при \( \tan(\alpha) > 0 \).

Доказать неравенство:

а) \( \sin a + \cos a > 1, \quad 0 < a < \frac{\pi}{2}; \)

\( \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a > 1; \)

\( 1 + 2 \sin a \cos a > 1; \)

\( 2 \sin a \cos a > 0; \)

Неравенство доказано.

б) \( \tan a + \cot a \geq 2, \quad \tan a > 0; \)

\( \tan^2 a + 2 \tan a \cot a + \cot^2 a \geq 4; \)

\( \tan^2 a — 2 + \frac{1}{\tan^2 a} \geq 0; \)

\( (\tan^2 a — 1)^2 \geq 0; \)

Неравенство доказано.

Задача

Докажите, что:

а) \( \sin(\alpha) + \cos(\alpha) > 1 \), если \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \);
б) \( \tan(\alpha) + \cot(\alpha) \geq 2 \), при \( \tan(\alpha) > 0 \).

Решение

а) \( \sin a + \cos a > 1, \quad 0 < a < \frac{\pi}{2} \)

Для доказательства неравенства преобразуем левую часть:

Воспользуемся неравенством:
\( \sin a + \cos a > 1 \).

Возведем обе части в квадрат (так как обе стороны положительны на рассматриваемом промежутке):
\( (\sin a + \cos a)^2 > 1^2 \)
\( \sin^2 a + 2\sin a \cos a + \cos^2 a > 1 \)

Заметим, что \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \) по основному тригонометрическому тождеству:
\( 1 + 2\sin a \cos a > 1 \)

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:
\( 2\sin a \cos a > 0 \)

Поскольку \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \), то и \( \sin a > 0 \), \( \cos a > 0 \), их произведение тоже положительно, а значит неравенство верно для всех \( a \) на заданном промежутке.
Таким образом, неравенство доказано.

б) \( \tan a + \cot a \geq 2, \quad \tan a > 0 \)

Рассмотрим сумму:
\( \tan a + \cot a \)

Поскольку \( \tan a > 0 \), то и \( \cot a = \frac{1}{\tan a} > 0 \), обе части определены и положительны.

Воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM):
\( \frac{\tan a + \cot a}{2} \geq \sqrt{\tan a \cdot \cot a} \)

Посчитаем произведение:
\( \tan a \cdot \cot a = \tan a \cdot \frac{1}{\tan a} = 1 \)

Тогда:
\( \frac{\tan a + \cot a}{2} \geq 1 \Rightarrow \tan a + \cot a \geq 2 \)

Рассмотрим также доказательство через преобразования:

Пусть \( x = \tan a \), тогда \( x > 0 \), и выражение становится:
\( x + \frac{1}{x} \geq 2 \)

Перенесем 2 влево:
\( x + \frac{1}{x} — 2 \geq 0 \)

Приведём к общему знаменателю:
\( \frac{x^2 — 2x + 1}{x} \geq 0 \)

Числитель: \( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \geq 0 \) всегда при любом \( x \).
Знаменатель \( x > 0 \) по условию.
Следовательно, дробь всегда неотрицательна, равна нулю только при \( x = 1 \), то есть при \( \tan a = 1 \).

Таким образом, неравенство доказано.

ответы

а) \( \sin a + \cos a > 1, \quad 0 < a < \frac{\pi}{2}; \)
\( \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a > 1; \)
\( 1 + 2 \sin a \cos a > 1; \)
\( 2 \sin a \cos a > 0; \)
Неравенство доказано.

б) \( \tan a + \cot a \geq 2, \quad \tan a > 0; \)
\( \tan^2 a + 2 \tan a \cot a + \cot^2 a \geq 4; \)
\( \tan^2 a — 2 + \frac{1}{\tan^2 a} \geq 0; \)
\( (\tan^2 a — 1)^2 \geq 0; \)
Неравенство доказано.