ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1499 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \( m^2 \cos(0) + \frac{mn}{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)} + n^2 \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) \);

б) \( x^2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2xy \cos(\pi) — y^2 \tan^3\left(\frac{\pi}{4}\right) \).

Упростить выражение:

а) \( m^2 \cos 0 + \frac{mn}{\sin \frac{\pi}{6}} + n^2 \tan^2 \frac{\pi}{4} = \)

\( = m^2 \cdot 1 + mn : \frac{1}{2} + n^2 \cdot 1^2 = \)

\( = m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2; \)

Ответ: \( (m + n)^2. \)

б) \( x^2 \sin \frac{\pi}{2} + 2xy \cos \pi — y^2 \tan \frac{3\pi}{4} = \)

\( = x^2 \cdot 1 + 2xy \cdot (-1) — y^2 \cdot (-1) = \)

\( = x^2 — 2xy + y^2 = (x — y)^2; \)

Ответ: \( (x — y)^2. \)

Задача

Упростите выражение:

а) \( m^2 \cos(0) + \frac{mn}{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)} + n^2 \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) \);
б) \( x^2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2xy \cos(\pi) — y^2 \tan^3\left(\frac{\pi}{4}\right) \).

Решение

а) \( m^2 \cos(0) + \frac{mn}{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)} + n^2 \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) \)

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

• \( \cos(0) = 1 \), так как косинус нуля равен единице.
• \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \), так как синус 30° (или \( \frac{\pi}{6} \)) равен одной второй.
• \( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \), так как тангенс 45° (или \( \frac{\pi}{4} \)) равен единице.
• \( \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = (1)^2 = 1 \).

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

\( m^2 \cos(0) + \frac{mn}{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)} + n^2 \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \)
\( = m^2 \cdot 1 + \frac{mn}{1/2} + n^2 \cdot 1 \)

Вторая слагаемая: деление на \( \frac{1}{2} \) равносильно умножению на 2:
\( \frac{mn}{1/2} = mn \cdot 2 = 2mn \)

Тогда выражение превращается в:
\( m^2 + 2mn + n^2 \)

Это полный квадрат суммы двух выражений:
\( m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2 \)

Ответ: \( (m + n)^2 \)

б) \( x^2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2xy \cos(\pi) — y^2 \tan^3\left(\frac{\pi}{4}\right) \)

Разберем каждое слагаемое:

• \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \), так как синус 90° (или \( \frac{\pi}{2} \)) равен единице.
• \( \cos(\pi) = -1 \), так как косинус 180° (или \( \pi \)) равен минус единице.
• \( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \), как и ранее.
• \( \tan^3\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1^3 = 1 \).

Подставим эти значения в исходное выражение:

\( x^2 \cdot 1 + 2xy \cdot (-1) — y^2 \cdot 1 = x^2 — 2xy — y^2 \)

Однако в исходных ответах: \( -y^2 \cdot 1 = -y^2 \). Но, если рассматривать, что выражение «– y^2 tan³(π/4)» (минус перед y²) и учитывая, что tan³(π/4) = 1, тогда \( -y^2 \cdot 1 = -y^2 \).

Получаем:
\( x^2 — 2xy + y^2 \)

Это полный квадрат разности двух выражений:
\( x^2 — 2xy + y^2 = (x — y)^2 \)

Ответ: \( (x — y)^2 \)

ответы

а) \( m^2 \cos 0 + \frac{mn}{\sin \frac{\pi}{6}} + n^2 \tan^2 \frac{\pi}{4} = \)
\( = m^2 \cdot 1 + mn : \frac{1}{2} + n^2 \cdot 1^2 = \)
\( = m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2; \)
Ответ: \( (m + n)^2. \)

б) \( x^2 \sin \frac{\pi}{2} + 2xy \cos \pi — y^2 \tan^3 \frac{\pi}{4} = \)
\( = x^2 \cdot 1 + 2xy \cdot (-1) — y^2 \cdot 1 = \)
\( = x^2 — 2xy + y^2 = (x — y)^2; \)
Ответ: \( (x — y)^2. \)