ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1498 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях \( \alpha \) верно равенство:

а) \( |\sin(\alpha)| = \sin(\alpha) \);

б) \( |\cos(\alpha)| = -\cos(\alpha) \);

в) \( |\tan(\alpha)| = \tan(\alpha) \);

г) \( |\cot(\alpha)| = -\cot(\alpha) \);

д) \( |\sin(\alpha)\cos(\alpha)| = \sin(\alpha)\cos(\alpha) \);

е) \( |\sin(\alpha)\cos(\alpha)| = -\sin(\alpha)\cos(\alpha) \)?

Найти значения \( a \):

а) \( |\sin a| = \sin a, \quad \sin a \geq 0; \)

Ответ: \( 2\pi n \leq a \leq \pi + 2\pi n. \)

б) \( |\cos a| = -\cos a, \quad \cos a \leq 0; \)

Ответ: \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n. \)

в) \( |\tan a| = \tan a, \quad \tan a \geq 0; \)

Ответ: \( \pi n \leq a < \frac{\pi}{2} + \pi n. \)

г) \( |\cot a| = -\cot a, \quad \cot a \leq 0; \)

Ответ: \( \frac{\pi}{2} + \pi n \leq a < \pi + \pi n. \)

д) \( |\sin a \cos a| = \sin a \cos a; \)

\( \sin a \cos a \geq 0, \quad \tan a \geq 0; \)

Ответ: \( \pi n \leq a \leq \frac{\pi}{2} + \pi n. \)

e) \( |\sin a \cos a| = -\sin a \cos a; \)

\( \sin a \cos a \leq 0, \quad \tan a \leq 0; \)

Ответ: \( \frac{\pi}{2} + \pi n \leq a \leq \pi + \pi n. \)

Задача

При каких значениях \( \alpha \) верно равенство:

а) \( |\sin(\alpha)| = \sin(\alpha) \);
б) \( |\cos(\alpha)| = -\cos(\alpha) \);
в) \( |\tan(\alpha)| = \tan(\alpha) \);
г) \( |\cot(\alpha)| = -\cot(\alpha) \);
д) \( |\sin(\alpha)\cos(\alpha)| = \sin(\alpha)\cos(\alpha) \);
е) \( |\sin(\alpha)\cos(\alpha)| = -\sin(\alpha)\cos(\alpha) \)?

Решение

а) \( |\sin a| = \sin a \)

Модуль числа равен самому числу, если оно неотрицательно.
Следовательно, \( |\sin a| = \sin a \) тогда и только тогда, когда \( \sin a \geq 0 \).
Рассмотрим, где функция синус неотрицательна на тригонометрической окружности:
Синус положителен и равен нулю на промежутках от \( 0 \) до \( \pi \), с учётом периодичности синуса, получаем:
\( 2\pi n \leq a \leq \pi + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( 2\pi n \leq a \leq \pi + 2\pi n \).

б) \( |\cos a| = -\cos a \)

Модуль косинуса равен минус косинусу тогда и только тогда, когда косинус не положителен, то есть \( \cos a \leq 0 \).
Рассмотрим, где косинус отрицателен или равен нулю:
Это промежутки от \( \frac{\pi}{2} \) до \( \frac{3\pi}{2} \) (с учетом периодичности — через каждый \( 2\pi \)):
\( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq a \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \).
Однако в приведенном ответе другая форма записи — она эквивалентна сдвигу оси:
\( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n \).

Ответ: \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n \).

в) \( |\tan a| = \tan a \)

Модуль тангенса равен самому тангенсу, когда тангенс неотрицателен: \( \tan a \geq 0 \).
Где тангенс неотрицателен?
Тангенс положителен в I и III четвертях, т.е. на промежутках \( 0 + \pi n \leq a < \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( \pi n \leq a < \frac{\pi}{2} + \pi n \).

г) \( |\cot a| = -\cot a \)

Модуль котангенса равен минус котангенсу тогда и только тогда, когда котангенс не положителен: \( \cot a \leq 0 \).
Котангенс отрицателен во II и IV четвертях, то есть на промежутках \( \frac{\pi}{2} + \pi n \leq a < \pi + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( \frac{\pi}{2} + \pi n \leq a < \pi + \pi n \).

д) \( |\sin a \cos a| = \sin a \cos a \)

Рассмотрим модуль произведения. Модуль равен самому произведению, когда оно неотрицательно: \( \sin a \cos a \geq 0 \).
Это происходит, когда обе функции одновременно положительны или отрицательны, либо одна из них равна нулю.
Но \( \sin a \cos a = \frac{1}{2} \sin 2a \), значит, произведение неотрицательно там, где \( \sin 2a \geq 0 \).
Анализируем, когда синус двойного угла неотрицателен:
\( 2a \) лежит на промежутках \( 0 + 2\pi n \leq 2a \leq \pi + 2\pi n \), делим на 2:
\( \pi n \leq a \leq \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( \pi n \leq a \leq \frac{\pi}{2} + \pi n \).

е) \( |\sin a \cos a| = -\sin a \cos a \)

Модуль равен минус произведению, когда само произведение не положительно: \( \sin a \cos a \leq 0 \).
Это реализуется, когда синус и косинус разных знаков или один из них ноль.
Опять рассматриваем синус двойного угла: \( \sin 2a \leq 0 \).
Тогда \( 2a \) лежит на промежутках \( \pi + 2\pi n \leq 2a \leq 2\pi + 2\pi n \), делим на 2:
\( \frac{\pi}{2} + \pi n \leq a \leq \pi + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( \frac{\pi}{2} + \pi n \leq a \leq \pi + \pi n \).

ответы

Найти значения \( a \):

а) \( |\sin a| = \sin a, \quad \sin a \geq 0; \)

Ответ: \( 2\pi n \leq a \leq \pi + 2\pi n. \)

б) \( |\cos a| = -\cos a, \quad \cos a \leq 0; \)

Ответ: \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n. \)

в) \( |\tan a| = \tan a, \quad \tan a \geq 0; \)

Ответ: \( \pi n \leq a < \frac{\pi}{2} + \pi n. \)

г) \( |\cot a| = -\cot a, \quad \cot a \leq 0; \)

Ответ: \( \frac{\pi}{2} + \pi n \leq a < \pi + \pi n. \)

д) \( |\sin a \cos a| = \sin a \cos a; \)

\( \sin a \cos a \geq 0, \quad \tan a \geq 0; \)

Ответ: \( \pi n \leq a \leq \frac{\pi}{2} + \pi n. \)

е) \( |\sin a \cos a| = -\sin a \cos a; \)

\( \sin a \cos a \leq 0, \quad \tan a \leq 0; \)

Ответ: \( \frac{\pi}{2} + \pi n \leq a \leq \pi + \pi n. \)