ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1497 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В каких четвертях значение выражения положительно, а в каких отрицательно:

а) \( \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) \);

б) \( \tan(\alpha) \cdot \sin(\alpha) \);

в) \( \sin(\alpha) \cdot \cot(\alpha) \);

г) \( \cos(\alpha) \cdot \tan(\alpha) \);

д) \( \cos(\alpha) \cdot \cot(\alpha) \);

е) \( \tan(\alpha) \cdot \cot(\alpha) \)

Промежутки знакопостоянства:

а) \( y = \sin a \cdot \cos a \);
Ответ: \( y > 0 \) в I и III четвертях; \( y < 0 \) во II и IV четвертях.

б) \( y = \tan a \cdot \sin a = \frac{\sin^2 a}{\cos a} \);
Ответ: \( y > 0 \) в I и IV четвертях; \( y < 0 \) во II и III четвертях.

в) \( y = \sin a \cdot \cot a = \cos a \);
Ответ: \( y > 0 \) в I и IV четвертях; \( y < 0 \) во II и III четвертях.

г) \( y = \cos a \cdot \tan a = \sin a \);
Ответ: \( y > 0 \) в I и II четвертях; \( y < 0 \) в III и IV четвертях.

д) \( y = \cos a \cdot \cot a = \frac{\cos^2 a}{\sin a} \);
Ответ: \( y > 0 \) в I и II четвертях; \( y < 0 \) в III и IV четвертях.

е) \( y = \tan a \cdot \cot a = \tan a \cdot \frac{1}{\tan a} = 1 \);
Ответ: \( y > 0 \) во всех четвертях.

а) Выражение: \( y = \sin \alpha \cdot \cos \alpha \)

Рассмотрим знаки функций \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \) по четвертям координатной плоскости:

• I четверть (\( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \)): \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha > 0 \) → произведение положительно.
• II четверть (\( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \)): \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha < 0 \) → произведение отрицательно.
• III четверть (\( 180^\circ < \alpha < 270^\circ \)): \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha < 0 \) → произведение положительно.
• IV четверть (\( 270^\circ < \alpha < 360^\circ \)): \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha > 0 \) → произведение отрицательно.

Ответ: \( y > 0 \) в I и III четвертях; \( y < 0 \) во II и IV четвертях.

б) Выражение: \( y = \tan \alpha \cdot \sin \alpha \)

Запишем через синус и косинус:

\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), значит

\( y = \tan \alpha \cdot \sin \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} \).

Знак \( y \) зависит от знаков числителя и знаменателя:

• \( \sin^2 \alpha \geq 0 \) всегда положительно или ноль, кроме точек, где \( \sin \alpha = 0 \).
• Знак \( y \) определяется знаком \( \frac{1}{\cos \alpha} \).

По четвертям знак косинуса:

• I четверть: \( \cos \alpha > 0 \) → \( y > 0 \)
• II четверть: \( \cos \alpha < 0 \) → \( y < 0 \)
• III четверть: \( \cos \alpha < 0 \) → \( y < 0 \)
• IV четверть: \( \cos \alpha > 0 \) → \( y > 0 \)

Ответ: \( y > 0 \) в I и IV четвертях; \( y < 0 \) во II и III четвертях.

в) Выражение: \( y = \sin \alpha \cdot \cot \alpha \)

Запишем через синус и косинус:

\( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), значит

\( y = \sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos \alpha \) (при \( \sin \alpha \neq 0 \)).

Знак \( y \) равен знаку \( \cos \alpha \).

По четвертям:

• I четверть: \( \cos \alpha > 0 \) → \( y > 0 \)
• II четверть: \( \cos \alpha < 0 \) → \( y < 0 \)
• III четверть: \( \cos \alpha < 0 \) → \( y < 0 \)
• IV четверть: \( \cos \alpha > 0 \) → \( y > 0 \)

Ответ: \( y > 0 \) в I и IV четвертях; \( y < 0 \) во II и III четвертях.

г) Выражение: \( y = \cos \alpha \cdot \tan \alpha \)

Запишем через синус и косинус:

\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), значит

\( y = \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sin \alpha \) (при \( \cos \alpha \neq 0 \)).

Знак \( y \) равен знаку \( \sin \alpha \).

По четвертям:

• I четверть: \( \sin \alpha > 0 \) → \( y > 0 \)
• II четверть: \( \sin \alpha > 0 \) → \( y > 0 \)
• III четверть: \( \sin \alpha < 0 \) → \( y < 0 \)
• IV четверть: \( \sin \alpha < 0 \) → \( y < 0 \)

Ответ: \( y > 0 \) в I и II четвертях; \( y < 0 \) в III и IV четвертях.

д) Выражение: \( y = \cos \alpha \cdot \cot \alpha \)

Запишем через синус и косинус:

\( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), значит

\( y = \cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} \) (при \( \sin \alpha \neq 0 \)).

Знак \( y \) определяется знаком числителя \( \cos^2 \alpha \) (всегда неотрицателен, равен нулю при \( \cos \alpha = 0 \)) и знаменателя \( \sin \alpha \).

Так как числитель неотрицателен, знак выражения определяется знаком \( \frac{1}{\sin \alpha} \), то есть знаком \( \sin \alpha \).

По четвертям для \( \sin \alpha \):

• I четверть: \( \sin \alpha > 0 \) → \( y > 0 \)
• II четверть: \( \sin \alpha > 0 \) → \( y > 0 \)
• III четверть: \( \sin \alpha < 0 \) → \( y < 0 \)
• IV четверть: \( \sin \alpha < 0 \) → \( y < 0 \)

Ответ: \( y > 0 \) в I и II четвертях; \( y < 0 \) в III и IV четвертях.

е) Выражение: \( y = \tan \alpha \cdot \cot \alpha \)

По определению:

\( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \), следовательно

\( y = \tan \alpha \cdot \frac{1}{\tan \alpha} = 1 \), где определены обе функции.

Это постоянная положительная величина, не зависящая от угла \( \alpha \), за исключением точек, где функции не определены.

Ответ: \( y = 1 > 0 \) во всех четвертях, где определено выражение.