ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1496 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Верно ли равенство или неравенство:

а) \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 \);

б) \( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) — \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) — \frac{1 — \sqrt{3}}{2} \);

в) \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) > \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \);

г) \( 2\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) — \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) < \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \) ?

Верно ли выражение:

а) \( \sin \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{6} = 1; \)

\( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \neq 1; \)

Ответ: нет.

б) \( \tan \frac{\pi}{4} — \cos \frac{\pi}{6} = \frac{1 — \sqrt{3}}{2}; \)

\( 1 — \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 — \sqrt{3}}{2} \neq \frac{1 — \sqrt{3}}{2}; \)

Ответ: нет.

в) \( \sin \frac{\pi}{3} + \tan \frac{\pi}{6} > \tan \frac{\pi}{4}; \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{6} > 1; \)

Ответ: да.

г) \( 2 \cot \frac{\pi}{6} — \sin \frac{\pi}{4} < \cos \frac{\pi}{4}; \)

\( 2\sqrt{3} — \frac{\sqrt{2}}{2} > 2\sqrt{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = \)

\( = \frac{3\sqrt{2}}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2} \neq \cos \frac{\pi}{4}; \)

Ответ: нет.

а) Проверим равенство \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 \).

Вычислим значения:

\( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)

\( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Сложим:

\( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \)

Числовое значение \( \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx \frac{1 + 1.732}{2} = \frac{2.732}{2} = 1.366 \neq 1 \).

Ответ: нет, равенство неверно.

б) Проверим равенство \( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) — \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1 — \sqrt{3}}{2} \).

Вычислим значения:

\( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \tan 45^\circ = 1 \)

\( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Разность:

\( 1 — \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 — \sqrt{3}}{2} \)

Сравним с правой частью: \( \frac{1 — \sqrt{3}}{2} \).

Числово:

\( \frac{2 — \sqrt{3}}{2} \approx \frac{2 — 1.732}{2} = \frac{0.268}{2} = 0.134 \)

\( \frac{1 — \sqrt{3}}{2} \approx \frac{1 — 1.732}{2} = \frac{-0.732}{2} = -0.366 \)

Следовательно, левое и правое выражения не равны.

Ответ: нет, равенство неверно.

в) Проверим неравенство \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) > \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \).

Вычислим значения:

\( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \)

\( \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 \)

Сложим:

\( 0.866 + 0.577 = 1.443 \)

\( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \tan 45^\circ = 1 \)

Проверим неравенство:

\( 1.443 > 1 \) — верно.

Ответ: да, неравенство верно.

г) Проверим неравенство \( 2\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) — \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) < \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \).

Вычислим значения:

\( \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cot 30^\circ = \frac{1}{\tan 30^\circ} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3} \approx 1.732 \)

\( 2 \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \times 1.732 = 3.464 \)

\( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \)

Вычислим левую часть:

\( 3.464 — 0.707 = 2.757 \)

Вычислим правую часть:

\( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \)

Проверим неравенство:

\( 2.757 < 0.707 \) — неверно.

Ответ: нет, неравенство неверно.