ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1495 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) \( \sin^2(100^\circ — \alpha) + \cos^2(100^\circ — \alpha) \), при \( \alpha = 55^\circ \);

б) \( \tan^2(\alpha) \cdot \sin(\alpha + 15^\circ) \cdot \tan^2(\alpha + 15^\circ) — \cos(\alpha — 15^\circ) \), при \( \alpha = 45^\circ \);

в) \( \cot^2(65^\circ — \alpha) — \tan^2(\alpha + 25^\circ) + \frac{3}{4} \tan^2(\alpha + 10^\circ) + \cos^2(\alpha + 10^\circ) \), при \( \alpha = 20^\circ \);

г) \( \cos(\alpha — 10^\circ) — \sin^2(\alpha + 20^\circ) + \frac{3}{4} \cot^2(\alpha — 10^\circ) \), при \( \alpha = 70^\circ \).

Найти значение выражения:

а) Если \( a = 55^\circ \), тогда:

\( \sin^2(100^\circ — a) + \cos^2(100^\circ — a) = \)

\( = \sin^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1; \)

б) Если \( a = 45^\circ \), тогда:

\( \tan^2 a \cdot \sin(a + 15^\circ) \cdot \tan^2(a + 15^\circ) — \cos(a — 15^\circ) = \)

\( = \tan^2 45^\circ \cdot \sin 60^\circ \cdot \tan^2 60^\circ — \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 — \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}; \)

в) Если \( a = 20^\circ \), тогда:

\( \cot^2(65^\circ — a) — \tan^2(a + 25^\circ) + \frac{3}{4} \tan^2(a + 10^\circ) + \cos^2(a + 10^\circ) = \)

\( = \cot^2 45^\circ — \tan^2 45^\circ + \frac{3}{4} \tan^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = 1 — 1 + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{4} = 1; \)

г) Если \( a = 70^\circ \), тогда:

\( \cos(a — 10^\circ) — \sin^2(a + 20^\circ) + \frac{3}{4} \cot^2(a — 10^\circ) = \)

\( = \cos 60^\circ — \sin^2 90^\circ + \frac{3}{4} \cot^2 60^\circ = \frac{1}{2} — 1 + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{4}; \)

а) Выражение: \( \sin^2(100^\circ — \alpha) + \cos^2(100^\circ — \alpha) \) при \( \alpha = 55^\circ \)

Шаг 1. Найдём аргумент функций:

\( 100^\circ — 55^\circ = 45^\circ \)

Шаг 2. Подставим в выражение:

\( \sin^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ \)

Шаг 3. Найдём значения \( \sin 45^\circ \) и \( \cos 45^\circ \).

По таблице значений тригонометрических функций:

\( \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Шаг 4. Возведём в квадрат:

\( \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Шаг 5. Сложим квадраты:

\( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \)

Это подтверждает известное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \).

Ответ: \( 1 \).

б) Выражение: \( \tan^2(\alpha) \cdot \sin(\alpha + 15^\circ) \cdot \tan^2(\alpha + 15^\circ) — \cos(\alpha — 15^\circ) \), при \( \alpha = 45^\circ \)

Шаг 1. Вычислим \( \tan^2 \alpha \):

\( \tan 45^\circ = 1 \), значит \( \tan^2 45^\circ = 1^2 = 1 \).

Шаг 2. Вычислим \( \sin(\alpha + 15^\circ) = \sin 60^\circ \):

\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Шаг 3. Вычислим \( \tan^2(\alpha + 15^\circ) = \tan^2 60^\circ \):

\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \), значит \( \tan^2 60^\circ = (\sqrt{3})^2 = 3 \).

Шаг 4. Перемножим первые три множителя:

\( 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \).

Шаг 5. Вычислим \( \cos(\alpha — 15^\circ) = \cos 30^\circ \):

\( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Шаг 6. Подставим в выражение:

\( \frac{3\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} — \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \).

Ответ: \( \sqrt{3} \).

в) Выражение: \( \cot^2(65^\circ — \alpha) — \tan^2(\alpha + 25^\circ) + \frac{3}{4} \tan^2(\alpha + 10^\circ) + \cos^2(\alpha + 10^\circ) \), при \( \alpha = 20^\circ \)

Шаг 1. Вычислим аргументы функций:

• \( 65^\circ — 20^\circ = 45^\circ \)
• \( 20^\circ + 25^\circ = 45^\circ \)
• \( 20^\circ + 10^\circ = 30^\circ \)

Шаг 2. Найдём значения тригонометрических функций и их квадратов:

• \( \cot 45^\circ = 1 \), значит \( \cot^2 45^\circ = 1^2 = 1 \)
• \( \tan 45^\circ = 1 \), значит \( \tan^2 45^\circ = 1^2 = 1 \)
• \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \), значит \( \tan^2 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
• \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), значит \( \cos^2 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \)

Шаг 3. Подставим значения в выражение:

\( 1 — 1 + \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} + \frac{3}{4} = 0 + \frac{3}{12} + \frac{3}{4} \)

Шаг 4. Приведём дроби к общему знаменателю 12:

\( \frac{3}{12} + \frac{3}{4} = \frac{3}{12} + \frac{9}{12} = \frac{12}{12} = 1 \)

Ответ: \( 1 \).

г) Выражение: \( \cos(\alpha — 10^\circ) — \sin^2(\alpha + 20^\circ) + \frac{3}{4} \cot^2(\alpha — 10^\circ) \), при \( \alpha = 70^\circ \)

Шаг 1. Вычислим аргументы функций:

• \( \alpha — 10^\circ = 70^\circ — 10^\circ = 60^\circ \)
• \( \alpha + 20^\circ = 70^\circ + 20^\circ = 90^\circ \)

Шаг 2. Найдём значения тригонометрических функций:

• \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
• \( \sin 90^\circ = 1 \), значит \( \sin^2 90^\circ = 1^2 = 1 \)
• \( \cot 60^\circ = \frac{1}{\tan 60^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \), значит \( \cot^2 60^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{1}{3} \)

Шаг 3. Подставим значения в выражение:

\( \frac{1}{2} — 1 + \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2} — 1 + \frac{3}{12} \)

Шаг 4. Приведём дроби к общему знаменателю 12:

\( \frac{1}{2} = \frac{6}{12} \), \( -1 = -\frac{12}{12} \), \( \frac{3}{12} \) остаётся как есть.

Сложим:

\( \frac{6}{12} — \frac{12}{12} + \frac{3}{12} = \frac{6 — 12 + 3}{12} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4} \)

Ответ: \( -\frac{1}{4} \).