Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1494 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Чему равно значение выражения:
а) \( \sin(2\alpha) + \cos(3\alpha) — \sin(\alpha) + \cos(\alpha) \), при \( \alpha = 30^\circ \);
б) \( \cos(\alpha) — 2\sin(\alpha) + \cot(2\alpha) + \tan(\alpha) \), при \( \alpha = 45^\circ \);
в) \( \cot(90^\circ — \alpha) + \tan(3\alpha — 60^\circ) — 2\cos(120^\circ — 2\alpha) \), при \( \alpha = 30^\circ \);
г) \( \cos(150^\circ — \alpha) + 2\sin(180^\circ — 2\alpha) — 3\cos(90^\circ — \alpha) \), при \( \alpha = 60^\circ \).
Найти значение выражения:
а) Если \( a = 30^\circ \), тогда:
\( \sin 2a + \cos 3a — \sin a + \cos a = \)
\( = \sin 60^\circ + \cos 90^\circ — \sin 30^\circ + \cos 30^\circ = \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 — \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} — 1}{2}; \)
б) Если \( a = 45^\circ \), тогда:
\( \cos a — 2 \sin a + \cot 2a + \tan a = \)
\( = \cos 45^\circ — 2 \sin 45^\circ + \cot 90^\circ + \tan 45^\circ = \)
\( = \frac{\sqrt{2}}{2} — 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 + 1 = 1 — \frac{\sqrt{2}}{2}; \)
в) Если \( a = 30^\circ \), тогда:
\( \cot(90^\circ — a) + \tan(3a — 60^\circ) — 2 \cos(120^\circ — 2a) = \)
\( = \cot 60^\circ + \tan 30^\circ — 2 \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} — 2 \cdot \frac{1}{2} = \)
\( = \frac{2\sqrt{3} — 3}{3}; \)
г) Если \( a = 60^\circ \), тогда:
\( \cos(150^\circ — a) + 2 \sin(180^\circ — 2a) — 3 \cos(90^\circ — a) = \)
\( = \cos 90^\circ + 2 \sin 60^\circ — 3 \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}; \)
а) Выражение: \( \sin(2\alpha) + \cos(3\alpha) — \sin(\alpha) + \cos(\alpha) \) при \( \alpha = 30^\circ \)
Разложим и вычислим каждое слагаемое подробно.
1) \( \sin(2\alpha) = \sin(2 \times 30^\circ) = \sin(60^\circ) \). По таблице значений тригонометрических функций: \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
2) \( \cos(3\alpha) = \cos(3 \times 30^\circ) = \cos(90^\circ) \). Косинус 90 градусов равен нулю: \( \cos(90^\circ) = 0 \).
3) \( \sin(\alpha) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \).
4) \( \cos(\alpha) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Теперь подставим все значения в выражение:
\( \sin(60^\circ) + \cos(90^\circ) — \sin(30^\circ) + \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 — \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Сложим числа с одинаковым знаменателем:
\( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \).
Получаем:
\( \sqrt{3} — \frac{1}{2} \).
Запишем дробь с общим знаменателем 2 для удобства:
\( \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{2} \), поэтому итоговое выражение:
\( \frac{2\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{3} — 1}{2} \).
Ответ: \( \frac{2\sqrt{3} — 1}{2} \).
б) Выражение: \( \cos(\alpha) — 2\sin(\alpha) + \cot(2\alpha) + \tan(\alpha) \) при \( \alpha = 45^\circ \).
Посчитаем каждое слагаемое отдельно:
1) \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
2) \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), значит \( -2\sin(45^\circ) = -2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \).
3) \( \cot(2\alpha) = \cot(90^\circ) \). Тангенс 90 градусов не определён, но в тригонометрии \( \cot(90^\circ) = 0 \) (по определению или пределу, в зависимости от контекста).
4) \( \tan(45^\circ) = 1 \).
Сложим все:
\( \frac{\sqrt{2}}{2} — \sqrt{2} + 0 + 1 \).
Для удобства приведём дроби к общему знаменателю 2:
\( \frac{\sqrt{2}}{2} — \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{2\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
Итоговое выражение:
\( -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Ответ: \( 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} \).
в) Выражение: \( \cot(90^\circ — \alpha) + \tan(3\alpha — 60^\circ) — 2\cos(120^\circ — 2\alpha) \), при \( \alpha = 30^\circ \).
Подсчитаем каждое слагаемое:
1) \( \cot(90^\circ — 30^\circ) = \cot(60^\circ) \). По формуле приведения: \( \cot(60^\circ) = \frac{1}{\tan(60^\circ)} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
2) \( \tan(3 \times 30^\circ — 60^\circ) = \tan(90^\circ — 60^\circ) = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
3) \( \cos(120^\circ — 2 \times 30^\circ) = \cos(120^\circ — 60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \).
Вычислим второе слагаемое с множителем:
\( -2 \cdot \cos(60^\circ) = -2 \times \frac{1}{2} = -1 \).
Теперь сложим все слагаемые:
\( \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} — 1 = \frac{2\sqrt{3}}{3} — 1 \).
Приведём к общему знаменателю 3:
\( 1 = \frac{3}{3} \), следовательно:
\( \frac{2\sqrt{3} — 3}{3} \).
Ответ: \( \frac{2\sqrt{3} — 3}{3} \).
г) Выражение: \( \cos(150^\circ — \alpha) + 2\sin(180^\circ — 2\alpha) — 3\cos(90^\circ — \alpha) \), при \( \alpha = 60^\circ \).
Вычислим поэтапно:
1) \( \cos(150^\circ — 60^\circ) = \cos(90^\circ) = 0 \).
2) \( \sin(180^\circ — 2 \times 60^\circ) = \sin(180^\circ — 120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Умножим на 2:
\( 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \).
3) \( \cos(90^\circ — 60^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Умножим на -3:
\( -3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \).
Сложим все:
\( 0 + \sqrt{3} — \frac{3\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} — \frac{3\sqrt{3}}{2} \).
Приведём \( \sqrt{3} \) к дроби с знаменателем 2:
\( \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{2} \), значит:
\( \frac{2\sqrt{3}}{2} — \frac{3\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
Ответ: \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.