ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1492 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:

\( \sqrt{7x — 3} \leq \sqrt{8 — 4x} \).

Решить неравенство:

\( \sqrt{7x — 3} \leq \sqrt{8 — 4x}; \)

\( 7x — 3 \leq 8 — 4x; \)

\( 11x \leq 11, \quad x \leq 1; \)

Область определения:

\( 7x — 3 \geq 0, \quad x \geq \frac{3}{7}; \)

Ответ: \( x \in \left[\frac{3}{7}; 1\right]. \)

Рассмотрим неравенство:

\( \sqrt{7x — 3} \leq \sqrt{8 — 4x} \)

Шаг 1. Область определения:

В выражении присутствуют квадратные корни, а это значит, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

\( 7x — 3 \geq 0 \Longrightarrow 7x \geq 3 \Longrightarrow x \geq \frac{3}{7} \)

\( 8 — 4x \geq 0 \Longrightarrow 8 \geq 4x \Longrightarrow x \leq 2 \)

Таким образом, область определения:

\( x \in \left( \frac{3}{7}; 2 \right] \)

Шаг 2. Решение неравенства:

Поскольку обе части неравенства неотрицательны в области определения, можно возвести обе части в квадрат (так как функция \( f(x) = x^2 \) возрастает на \( [0; +\infty) \)), не изменяя знак неравенства:

\( \sqrt{7x — 3} \leq \sqrt{8 — 4x} \Longrightarrow 7x — 3 \leq 8 — 4x \)

Перенесём все слагаемые с \( x \) в одну сторону:

\( 7x + 4x \leq 8 + 3 \Longrightarrow 11x \leq 11 \Longrightarrow x \leq 1 \)

Шаг 3. Пересечение с областью определения:

Получено условие \( x \leq 1 \), однако из области определения еще имеем \( x \geq \frac{3}{7} \).

Пересечение интервалов:

\( x \in \left[ \frac{3}{7}; 1 \right] \)

Ответ: \( x \in \left[ \frac{3}{7}; 1 \right] \).