ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1490 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \( \sin(\pi + x)\sin(4\pi + x) — \cos(2x) \);

б) \( \sin(2\pi — \pi) + 4\sin(\pi)\cos(\pi) \).

Упростить выражение:

а) \( \sin(\pi + x) \sin(4\pi + x) — \cos 2x = \)

\( = -\sin x \sin x — (\cos^2 x — \sin^2 x) = \)

\( = \sin^2 x — \cos^2 x — \sin^2 x = -\cos^2 x; \)

Ответ: \( -\cos^2 x. \)

б) \( \sin(2a — \pi) + 4 \sin a \cos a = \)

\( = -\sin 2a + 2 \sin 2a = \sin 2a; \)

Ответ: \( \sin 2a. \)

Рассмотрим выражение:

а) \( \sin(\pi + x)\sin(4\pi + x) — \cos(2x) \)

Вначале упростим каждую функцию с помощью формул приведения для синуса:

\( \sin(\pi + x) = -\sin x \), поскольку синус увеличенного на \( \pi \) угла равен противоположному синусу аргумента.

\( \sin(4\pi + x) = \sin x \), потому что \( 4\pi \) — это полный оборот, и синус сохраняет значение: \( \sin(x + 2\pi n) = \sin x \) для любого целого \( n \).

Подставим полученные выражения:

\( \sin(\pi + x)\sin(4\pi + x) — \cos(2x) = (-\sin x)\cdot(\sin x) — \cos(2x) \)

\( = -\sin^2 x — \cos(2x) \)

Теперь упростим \( \cos(2x) \) с помощью формулы двойного угла:

\( \cos(2x) = \cos^2 x — \sin^2 x \)

Подставим это выражение:

\( -\sin^2 x — (\cos^2 x — \sin^2 x) \)

Откроем скобки:

\( -\sin^2 x — \cos^2 x + \sin^2 x \)

Заметим, что \( -\sin^2 x + \sin^2 x = 0 \), остаётся:

\( -\cos^2 x \)

Ответ: \( -\cos^2 x \).

б) \( \sin(2a — \pi) + 4\sin a \cos a \)

Для первого слагаемого применим формулу приведения для синуса:

\( \sin(2a — \pi) = -\sin(2a) \), поскольку синус разности угла и \( \pi \) равен противоположному значению синуса аргумента.

Второе слагаемое упростим с помощью формулы двойного угла:

\( 4\sin a \cos a = 2 \cdot 2\sin a \cos a = 2 \sin 2a \), так как \( \sin 2a = 2 \sin a \cos a \).

Подставим:

\( -\sin 2a + 2\sin 2a \)

Выполним сложение:

\( = (\ -1 + 2)\sin 2a = \sin 2a \)

Ответ: \( \sin 2a \).