ГДЗ по Алгебре 9 Класс Углубленный Уровень Учебник 📕 Макарычев, Миндюк — Все Части

Алгебра Углубленный Уровень

9 класс учебник Макарычев

9 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.

Год

2015-2022

Издательство

Мнемозина

Описание

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1489 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Найдите основной период функции:

а) \( y = \sin(x) + \tan(x) \);

б) \( y = \frac{\cos(x)}{\tan(x)} \);

в) \( y = \cos(x) — \cot\left(\frac{x}{2}\right) \);

г) \( y = \sin^2(x) \).

Краткий ответ:

Найти основной период:

а) \( y = \sin x + \tan x; \)

\( T_1 = 2\pi, \quad T_2 = \pi; \)

Ответ: \( 2\pi. \)

б) \( y = \frac{\cos x}{\tan x}; \)

\( T_1 = 2\pi, \quad T_2 = \pi; \)

Ответ: \( 2\pi. \)

в) \( y = \cos x — \cot \frac{x}{2}; \)

\( T_1 = 2\pi, \quad \frac{1}{2}T_2 = \pi; \)

\( T_1 = 2\pi, \quad T_2 = 2\pi; \)

Ответ: \( 2\pi. \)

г) \( y = \sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}; \)

\( 2T_1 = 2\pi, \quad T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi; \)

Ответ: \( \pi. \)

Подробный ответ:

а) \( y = \sin x + \tan x \)
Детальное решение:
1. Найдём основной период каждого слагаемого:
Для \( \sin x \) основной период \( T_1 = 2\pi \).
Для \( \tan x \) основной период \( T_2 = \pi \).
2. Основной период всей функции — наименьшее общее кратное периодов слагаемых.
Наименьшее общее кратное для \( 2\pi \) и \( \pi \) равно \( 2\pi \).
Ответ: \( 2\pi \)

б) \( y = \frac{\cos x}{\tan x} \)
Детальное решение:
1. Основной период \( \cos x \) равен \( 2\pi \).
2. Основной период \( \tan x \) равен \( \pi \).
3. Функция определена при \( x \neq \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \), но период всё равно определяем по наименьшему общему кратному:
Наименьшее общее кратное \( 2\pi \) и \( \pi \) равно \( 2\pi \).
Ответ: \( 2\pi \)

в) \( y = \cos x — \cot\left(\frac{x}{2}\right) \)
Детальное решение:
1. Основной период \( \cos x \) — \( 2\pi \).
2. Основной период \( \cot\left(\frac{x}{2}\right) \) равен \( T \), где \( \frac{x}{2} \to x \):
У функции \( \cot t \) основной период \( \pi \), значит, у \( \cot\left(\frac{x}{2}\right) \) период в 2 раза больше, то есть \( 2\pi \).
Проверим сдвиг:
\( \cot\left(\frac{x + 2\pi}{2}\right) = \cot\left(\frac{x}{2} + \pi\right) = \cot\left(\frac{x}{2}\right) \)
Таким образом, период обоих слагаемых \( 2\pi \).
Ответ: \( 2\pi \)

г) \( y = \sin^2 x \)
Детальное решение:
1. Используем формулу понижения степени:
\( \sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2} \)
2. Основной период \( \cos 2x \) равен \( T_1 \), где \( 2x \) повторяет полный цикл при увеличении \( x \) на \( \pi \):
\( 2x = 2x + 2\pi \Longrightarrow x = x + \pi \)
Значит, период всей функции \( \sin^2 x \) равен \( \pi \).
Ответ: \( \pi \)

Оцени решение