ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1487 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Преобразуйте выражение:
а) \( \tan 75^\circ — \tan 15^\circ; \)
б) \( \tan 25^\circ + \tan 65^\circ\)
в) \( \cot 50^\circ — \cot 20^\circ; \)
г) \( \cot 11^\circ + \cot 34^\circ; \)
д) \( \tan 85^\circ + \cot 85^\circ; \)
е) \( \tan 25^\circ — \cot 75^\circ. \)
Преобразовать выражение:
а) \( \tan 75^\circ — \tan 15^\circ = \frac{\sin 75^\circ}{\cos 75^\circ} — \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} = \)
\( = \frac{\sin 75^\circ \cos 15^\circ — \sin 15^\circ \cos 75^\circ}{\cos 75^\circ \cos 15^\circ} = \)
\( = \frac{2 \sin 60^\circ}{\cos 90^\circ + \cos 60^\circ} = \sqrt{3} : \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}; \)
б) \( \tan 25^\circ + \tan 65^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} + \frac{\sin 65^\circ}{\cos 65^\circ} = \)
\( = \frac{\sin 25^\circ \cos 65^\circ + \sin 65^\circ \cos 25^\circ}{\cos 25^\circ \cos 65^\circ} = \)
\( = \frac{2 \sin 90^\circ}{\cos 90^\circ + \cos 40^\circ} = \frac{2}{\cos 40^\circ}; \)
в) \( \cot 50^\circ — \cot 20^\circ = \frac{\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ} — \frac{\cos 20^\circ}{\sin 20^\circ} = \)
\( = \frac{\cos 50^\circ \sin 20^\circ — \cos 20^\circ \sin 50^\circ}{\sin 50^\circ \sin 20^\circ} = \)
\( = \frac{-2 \sin 30^\circ}{\cos 30^\circ — \cos 70^\circ} = \frac{1}{\cos 70^\circ — \frac{\sqrt{3}}{2}}; \)
г) \( \cot 11^\circ + \cot 34^\circ = \frac{\cos 11^\circ}{\sin 11^\circ} + \frac{\cos 34^\circ}{\sin 34^\circ} = \)
\( = \frac{\cos 11^\circ \sin 34^\circ + \cos 34^\circ \sin 11^\circ}{\sin 11^\circ \sin 34^\circ} = \)
\( = \frac{2 \sin 45^\circ}{\cos 23^\circ — \cos 45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\cos 23^\circ — \frac{\sqrt{2}}{2}}; \)
д) \( \tan 85^\circ + \cot 85^\circ = \frac{\sin 85^\circ}{\cos 85^\circ} + \frac{\cos 85^\circ}{\sin 85^\circ} = \)
\( = \frac{\sin^2 85^\circ + \cos^2 85^\circ}{\sin 85^\circ \cos 85^\circ} = \frac{2}{\sin 170^\circ} = \frac{2}{\sin 10^\circ}; \)
e) \( \tan 25^\circ — \cot 75^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} — \frac{\cos 75^\circ}{\sin 75^\circ} = \)
\( = \frac{\sin 25^\circ \sin 75^\circ — \cos 75^\circ \cos 25^\circ}{\cos 25^\circ \sin 75^\circ} = \)
\( = \frac{2 \cos 100^\circ}{\sin 100^\circ + \sin 50^\circ}. \)
Преобразуем каждое слагаемое по определению тангенса:
\( \tan 75^\circ = \frac{\sin 75^\circ}{\cos 75^\circ} \), \( \tan 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} \)
Приведём к общему знаменателю:
\( \tan 75^\circ — \tan 15^\circ = \frac{\sin 75^\circ \cos 15^\circ — \sin 15^\circ \cos 75^\circ}{\cos 75^\circ \cos 15^\circ} \)
В числителе применяем формулу разности синусов:
\( \sin A \cos B — \sin B \cos A = \sin(A — B) \)
\( \sin 75^\circ \cos 15^\circ — \sin 15^\circ \cos 75^\circ = \sin(75^\circ — 15^\circ) = \sin 60^\circ \)
Числитель: \( \sin 60^\circ \).
Знаменатель: \( \cos 75^\circ \cos 15^\circ \).
Для произведения косинусов используем формулу:
\( \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A — B) + \cos(A + B)] \)
\( \cos 75^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}[\cos(60^\circ) + \cos(90^\circ)] \)
\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), \( \cos 90^\circ = 0 \), значит знаменатель \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
Подставим значения:
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3} \)
Ответ: \( 2\sqrt{3} \)
Переводим к определению:
\( \tan 25^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} \), \( \tan 65^\circ = \frac{\sin 65^\circ}{\cos 65^\circ} \)
Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{\sin 25^\circ \cos 65^\circ + \sin 65^\circ \cos 25^\circ}{\cos 25^\circ \cos 65^\circ} \)
В числителе применяем формулу суммы синусов:
\( \sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin(A + B) \)
\( \sin 25^\circ \cos 65^\circ + \cos 25^\circ \sin 65^\circ = \sin(25^\circ + 65^\circ) = \sin 90^\circ = 1 \)
Домножим результат на 2 (т.к. сумма таких выражений из двух членов):
\( 2 \sin 90^\circ = 2 \)
Знаменатель:
\( \cos 25^\circ \cos 65^\circ = \frac{1}{2}[\cos(40^\circ) + \cos(90^\circ)] = \frac{1}{2} \cos 40^\circ \) (так как \( \cos 90^\circ = 0 \))
\( \frac{2}{\frac{1}{2} \cos 40^\circ} = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos 40^\circ} = \frac{2}{\cos 40^\circ} \)
Представим через синус и косинус:
\( \cot 50^\circ = \frac{\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ} \), \( \cot 20^\circ = \frac{\cos 20^\circ}{\sin 20^\circ} \)
Приведём к общему знаменателю:
\( \frac{\cos 50^\circ \sin 20^\circ — \cos 20^\circ \sin 50^\circ}{\sin 50^\circ \sin 20^\circ} \)
Числитель по формуле разности косинусов:
\( \cos A \sin B — \cos B \sin A = \sin(B — A) \)
\( \sin(20^\circ — 50^\circ) = \sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2} \)
Учитывая домножение на 2 (формула разности), получается \( -2 \sin 30^\circ = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 \)
Знаменатель:
\( \sin 50^\circ \sin 20^\circ = \frac{1}{2}[\cos 30^\circ — \cos 70^\circ] \)
\( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \cos 70^\circ \approx 0,342 \)
\( \frac{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2} — \cos 70^\circ} \)
Для положительного числителя можно поменять порядок:
\( \frac{1}{\cos 70^\circ — \frac{\sqrt{3}}{2}} \)
Через синус и косинус:
\( \cot 11^\circ = \frac{\cos 11^\circ}{\sin 11^\circ} \), \( \cot 34^\circ = \frac{\cos 34^\circ}{\sin 34^\circ} \)
Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{\cos 11^\circ \sin 34^\circ + \cos 34^\circ \sin 11^\circ}{\sin 11^\circ \sin 34^\circ} \)
Числитель по формуле суммы синусов:
\( \cos 11^\circ \sin 34^\circ + \cos 34^\circ \sin 11^\circ = \sin(11^\circ + 34^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Домножаем на 2 (итоговый числитель): \( 2 \sin 45^\circ = \sqrt{2} \)
Знаменатель:
\( \sin 11^\circ \sin 34^\circ = \frac{1}{2}[\cos(23^\circ) — \cos(45^\circ)] \), \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \frac{\sqrt{2}}{\cos 23^\circ — \frac{\sqrt{2}}{2}} \)
Представим через синус и косинус:
\( \tan 85^\circ = \frac{\sin 85^\circ}{\cos 85^\circ} \), \( \cot 85^\circ = \frac{\cos 85^\circ}{\sin 85^\circ} \)
Складываем:
\( \frac{\sin^2 85^\circ + \cos^2 85^\circ}{\sin 85^\circ \cos 85^\circ} \)
По основному тригонометрическому тождеству числитель равен 1:
\( \frac{1}{\sin 85^\circ \cos 85^\circ} \)
Применяем формулу двойного угла для синуса:
\( \sin 2a = 2 \sin a \cos a \rightarrow \sin 170^\circ = 2 \sin 85^\circ \cos 85^\circ \)
\( \sin 85^\circ \cos 85^\circ = \frac{1}{2} \sin 170^\circ \)
\( \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 170^\circ} = \frac{2}{\sin 170^\circ} = \frac{2}{\sin 10^\circ} \)
Через синус и косинус:
\( \tan 25^\circ = \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} \), \( \cot 75^\circ = \frac{\cos 75^\circ}{\sin 75^\circ} \)
Вычитаем:
\( \frac{\sin 25^\circ}{\cos 25^\circ} — \frac{\cos 75^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{\sin 25^\circ \sin 75^\circ — \cos 75^\circ \cos 25^\circ}{\cos 25^\circ \sin 75^\circ} \)
В числителе используем формулу разности косинусов:
\( \sin A \sin B — \cos A \cos B = -\cos(A + B) \)
\( \sin 25^\circ \sin 75^\circ — \cos 75^\circ \cos 25^\circ = -\cos(25^\circ + 75^\circ) = -\cos 100^\circ \)
В числителе используется формула удвоения:
\( -2 \cos 100^\circ \), но результат переворачивается при изменении порядка:
\( \frac{2 \cos 100^\circ}{\sin 100^\circ + \sin 50^\circ} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.