ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1486 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) \( \tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)
Детальное доказательство:
1. Запишем определение тангенса для каждого угла:
\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \)
2. Сложим два тангенса:
\( \tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \)
3. Приведём к общему знаменателю \( \cos \alpha \cos \beta \):
\( = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta} \)
4. В числителе узнаём формулу синуса суммы:
\( \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha + \beta) \)
5. Получаем итоговое выражение:
\( \tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)
Таким образом, тождество доказано.

б) \( \tan \alpha — \tan \beta = \frac{\sin(\alpha — \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)
Детальное доказательство:
1. Запишем определение тангенса:
\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \)
2. Найдём разность двух тангенсов:
\( \tan \alpha — \tan \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} — \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \)
3. Приведём к общему знаменателю \( \cos \alpha \cos \beta \):
\( = \frac{\sin \alpha \cos \beta — \sin \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta} \)
4. В числителе используем формулу синуса разности:
\( \sin \alpha \cos \beta — \sin \beta \cos \alpha = \sin(\alpha — \beta) \)
5. Получаем итоговое выражение:
\( \tan \alpha — \tan \beta = \frac{\sin(\alpha — \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)
Тождество доказано.