ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1485 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите тождество:
а) \( (\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha — \beta}{2}; \)
б) \( \sin^2(x + y) — \sin^2(x — y) = \sin 2x \sin 2y; \)
в) \( \cos^2(\alpha + \beta) — \cos^2(\alpha — \beta) = -\sin^2 \alpha \sin 2\beta; \)
г) \( (\sin x — \sin y)^2 + (\cos x — \cos y)^2 = 4 \sin^2 \frac{x — y}{2}; \)
д) \( \frac{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}{\cos a + \cos 3a + \cos 5a} = \tan 3a; \)
e) \( \sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x = 4 \cos x \cos 2x \sin 4x. \)
Доказать тождество:
а) \( (\sin a + \sin \beta)^2 + (\cos a + \cos \beta)^2 = 4 \cdot \frac{1 + \cos(a — \beta)}{2}; \)
\( 1 + 1 + 2(\sin a \sin \beta + \cos a \cos \beta) = 2 + 2 \cos(a — \beta); \)
Тождество доказано.
б) \( \sin^2(x + y) — \sin^2(x — y) = \sin 2x \sin 2y; \)
\( \frac{1 — \cos(2x + 2y)}{2} — \frac{1 — \cos(2x — 2y)}{2} = \sin 2x \sin 2y; \)
\( \frac{1}{2} (\cos(2x — 2y) — \cos(2x + 2y)) = \sin 2x \sin 2y; \)
Тождество доказано.
в) \( \cos^2(\alpha + \beta) — \cos^2(\alpha — \beta) = -\sin^2 \alpha \sin 2\beta; \)
\( \frac{1 + \cos(2a + 2\beta)}{2} — \frac{1 + \cos(2a — 2\beta)}{2} = -\sin 2a \sin 2\beta; \)
\( \frac{1}{2} (\cos(2a + 2\beta) — \cos(2a — 2\beta)) = -\sin 2a \sin 2\beta; \)
Тождество доказано.
г) \( \frac{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}{\cos a + \cos 3a + \cos 5a} = \tan 3a; \)
\( \frac{2 \sin 3a \cos 2a + \sin 3a}{2 \cos 3a \cos 2a + \cos 3a} = \tan 3a; \)
\( \frac{\sin 3a (2 \cos 2a + 1)}{\cos 3a (2 \cos 2a + 1)} = \tan 3a; \)
Тождество доказано.
д) \( \frac{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}{\cos a + \cos 3a + \cos 5a} = \tan 3a; \)
\( \frac{2 \sin 3a \cos 2a + \sin 3a}{2 \cos 3a \cos 2a + \cos 3a} = \tan 3a; \)
\( \frac{\sin 3a (2 \cos 2a + 1)}{\cos 3a (2 \cos 2a + 1)} = \tan 3a; \)
\( \frac{\sin 3a}{\cos 3a} = \tan 3a; \)
Тождество доказано.
e) \( \sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x = 4 \cos x \cos 2x \sin 4x; \)
\( 2 \sin 4x \cos 3x + 2 \sin 4x \cos x = 4 \cos x \cos 2x \sin 4x; \)
\( 2 \sin 4x (\cos 3x + \cos x) = 2 \sin 4x (\cos 3x + \cos x); \)
Тождество доказано.
Детальное доказательство:
1. Раскроем каждое выражение по формуле квадрата суммы:
\( (\sin \alpha + \sin \beta)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta \)
\( (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta \)
2. Сложим обе формулы:
\( (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 2(\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta) \)
3. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \):
\( 1 + 1 + 2(\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta) = 2 + 2(\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta) \)
4. Заменим \( \sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta \) на \( \cos(\alpha — \beta) \) (по формуле приведения):
\( 2 + 2\cos(\alpha — \beta) \)
5. Преобразуем правую часть:
\( 2 + 2\cos(\alpha — \beta) = 2(1 + \cos(\alpha — \beta)) \)
6. Используем формулу понижения степени для косинуса:
\( 1 + \cos(\alpha — \beta) = 2\cos^2 \frac{\alpha — \beta}{2} \)
7. Получаем:
\( 2 \cdot 2\cos^2 \frac{\alpha — \beta}{2} = 4\cos^2 \frac{\alpha — \beta}{2} \)
Следовательно, тождество доказано.
Детальное доказательство:
1. Используем формулу \( \sin^2 t = \frac{1 — \cos 2t}{2} \):
\( \sin^2(x + y) = \frac{1 — \cos(2x + 2y)}{2} \)
\( \sin^2(x — y) = \frac{1 — \cos(2x — 2y)}{2} \)
2. Вычислим разность:
\( \frac{1 — \cos(2x + 2y)}{2} — \frac{1 — \cos(2x — 2y)}{2} = \frac{\cos(2x — 2y) — \cos(2x + 2y)}{2} \)
3. Используем формулу разности косинусов:
\( \cos A — \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \)
Подставим \( A = 2x — 2y \), \( B = 2x + 2y \):
\( \frac{A + B}{2} = 2x \), \( \frac{A — B}{2} = -2y \)
\( \cos(2x — 2y) — \cos(2x + 2y) = -2 \sin(2x) \sin(-2y) \)
4. Учитываем нечетность синуса: \( \sin(-2y) = -\sin 2y \):
\( -2 \sin(2x) \cdot (-\sin 2y) = 2 \sin 2x \sin 2y \)
5. Окончательно:
\( \frac{2 \sin 2x \sin 2y}{2} = \sin 2x \sin 2y \)
Тождество доказано.
Детальное доказательство:
1. Используем формулу \( \cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2} \):
\( \cos^2(\alpha + \beta) = \frac{1 + \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} \)
\( \cos^2(\alpha — \beta) = \frac{1 + \cos(2\alpha — 2\beta)}{2} \)
2. Найдем разность:
\( \frac{1 + \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} — \frac{1 + \cos(2\alpha — 2\beta)}{2} = \frac{\cos(2\alpha + 2\beta) — \cos(2\alpha — 2\beta)}{2} \)
3. Используем формулу разности косинусов:
\( \cos A — \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \)
Подставим \( A = 2\alpha + 2\beta \), \( B = 2\alpha — 2\beta \):
\( \frac{A+B}{2} = 2\alpha \), \( \frac{A-B}{2} = 2\beta \)
\( \cos(2\alpha + 2\beta) — \cos(2\alpha — 2\beta) = -2 \sin(2\alpha) \sin(2\beta) \)
4. Делим на 2:
\( \frac{-2 \sin 2\alpha \sin 2\beta}{2} = -\sin 2\alpha \sin 2\beta \)
Тождество доказано.
Детальное доказательство:
1. Раскроем скобки:
\( (\sin x — \sin y)^2 = \sin^2 x — 2\sin x \sin y + \sin^2 y \)
\( (\cos x — \cos y)^2 = \cos^2 x — 2\cos x \cos y + \cos^2 y \)
2. Складываем:
\( (\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin^2 y + \cos^2 y) — 2(\sin x \sin y + \cos x \cos y) \)
3. Применяем основное тождество:
\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), \( \sin^2 y + \cos^2 y = 1 \),
Получаем \( 2 — 2(\sin x \sin y + \cos x \cos y) \)
4. Используем формулу:
\( \sin x \sin y + \cos x \cos y = \cos(x — y) \)
5. Получаем:
\( 2 — 2\cos(x — y) \)
6. Используем формулу понижения степени:
\( 1 — \cos(x — y) = 2\sin^2 \frac{x — y}{2} \Rightarrow 2 — 2\cos(x — y) = 4\sin^2 \frac{x — y}{2} \)
Тождество доказано.
Детальное доказательство:
1. Объединим слагаемые с помощью формулы суммы синусов:
\( \sin a + \sin 5a = 2 \sin 3a \cos 2a \)
Числитель: \( \sin a + \sin 3a + \sin 5a = (2 \sin 3a \cos 2a) + \sin 3a = \sin 3a (2 \cos 2a + 1) \)
2. Аналогично для знаменателя:
\( \cos a + \cos 5a = 2 \cos 3a \cos 2a \)
Знаменатель: \( \cos a + \cos 3a + \cos 5a = (2 \cos 3a \cos 2a) + \cos 3a = \cos 3a (2 \cos 2a + 1) \)
3. Сократим на общий множитель \( 2 \cos 2a + 1 \) (при \( \cos 2a \neq -\frac{1}{2} \)):
\( \frac{\sin 3a}{\cos 3a} = \tan 3a \)
Тождество доказано.
Детальное доказательство:
1. Сгруппируем пары по формуле суммы синусов:
\( \sin x + \sin 7x = 2 \sin 4x \cos 3x \)
\( \sin 3x + \sin 5x = 2 \sin 4x \cos x \)
2. Складываем полученные результаты:
\( 2 \sin 4x \cos 3x + 2 \sin 4x \cos x = 2 \sin 4x (\cos 3x + \cos x) \)
3. Используем формулу суммы косинусов:
\( \cos 3x + \cos x = 2 \cos 2x \cos x \)
4. Подставляем:
\( 2 \sin 4x \cdot 2 \cos 2x \cos x = 4 \cos x \cos 2x \sin 4x \)
Тождество доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.