ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1484 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Используем формулы суммы и разности синусов и косинусов:
\( \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \)
\( \cos A — \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \)
Применяем к числителю:
\( \sin 2x + \sin 6x = 2 \sin \frac{2x+6x}{2} \cos \frac{2x-6x}{2} = 2 \sin 4x \cos (-2x) \)
Поскольку \( \cos(-2x) = \cos 2x \), получаем:
\( \sin 2x + \sin 6x = 2 \sin 4x \cos 2x \)
Рассмотрим знаменатель:
\( \cos 2x — \cos 6x = -2 \sin \frac{2x+6x}{2} \sin \frac{2x-6x}{2} = -2 \sin 4x \sin (-2x) \)
Поскольку \( \sin(-2x) = -\sin 2x \), получаем:
\( \cos 2x — \cos 6x = -2 \sin 4x \cdot (-\sin 2x) = 2 \sin 4x \sin 2x \)
Теперь запишем всю дробь:
\( \frac{\sin 2x + \sin 6x}{\cos 2x — \cos 6x} = \frac{2 \sin 4x \cos 2x}{2 \sin 4x \sin 2x} \)
Сократим на \( 2 \sin 4x \) (при \( \sin 4x \neq 0 \)):
\( = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \cot 2x \)

Используем формулы разности косинусов и суммы синусов:
\( \cos A — \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \)
\( \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \)
Применяем к числителю:
\( \cos 5x — \cos x = -2 \sin \frac{5x+x}{2} \sin \frac{5x-x}{2} = -2 \sin 3x \sin 2x \)
Применяем к знаменателю:
\( \sin 5x + \sin x = 2 \sin \frac{5x+x}{2} \cos \frac{5x-x}{2} = 2 \sin 3x \cos 2x \)
Теперь подставим:
\( \frac{\cos 5x — \cos x}{\sin 5x + \sin x} = \frac{-2 \sin 3x \sin 2x}{2 \sin 3x \cos 2x} \)
Сократим на \( 2 \sin 3x \) (при \( \sin 3x \neq 0 \)):
\( = -\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = -\tan 2x \)

Используем формулы суммы косинусов и разности синусов:
\( \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \)
\( \sin A — \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \)
Применяем к числителю:
\( \cos 2x + \cos 3x = 2 \cos \frac{2x+3x}{2} \cos \frac{2x-3x}{2} = 2 \cos \frac{5x}{2} \cos \left( -\frac{x}{2} \right) \)
Так как \( \cos(-a) = \cos a \),
\( = 2 \cos \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2} \)
Применяем к знаменателю:
\( \sin 2x — \sin 3x = 2 \cos \frac{2x+3x}{2} \sin \frac{2x-3x}{2} = 2 \cos \frac{5x}{2} \sin \left( -\frac{x}{2} \right) \)
Поскольку \( \sin(-a) = -\sin a \):
\( = 2 \cos \frac{5x}{2} \cdot (-\sin \frac{x}{2}) = -2 \cos \frac{5x}{2} \sin \frac{x}{2} \)
Запишем дробь:
\( \frac{2 \cos \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2}}{-2 \cos \frac{5x}{2} \sin \frac{x}{2}} \)
Сократим на \( 2 \cos \frac{5x}{2} \) (при \( \cos \frac{5x}{2} \neq 0 \)):
\( = -\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = -\cot \frac{x}{2} \)

Используем формулы разности синусов и суммы косинусов:

\( \sin A — \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \)
\( \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \)
Применяем к числителю:
\( \sin 2x — \sin x = 2 \cos \frac{2x+x}{2} \sin \frac{2x-x}{2} = 2 \cos \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} \)
Применяем к знаменателю:
\( \cos 2x + \cos x = 2 \cos \frac{2x+x}{2} \cos \frac{2x-x}{2} = 2 \cos \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2} \)

Запишем дробь:
\( \frac{2 \cos \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}}{2 \cos \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2}} \)

Сократим на \( 2 \cos \frac{3x}{2} \) (при \( \cos \frac{3x}{2} \neq 0 \)):
\( = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \tan \frac{x}{2} \)