ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1483 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Упростим выражение: \( \frac{\sin 37^\circ + \sin 23^\circ}{\sin 37^\circ — \sin 23^\circ} \)

Числитель содержит сумму двух синусов с разными углами. Воспользуемся тождеством:

\( \sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

Подставим \( A = 37^\circ, B = 23^\circ \):

\( \frac{A + B}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ, \quad \frac{A — B}{2} = \frac{14^\circ}{2} = 7^\circ \)

Тогда числитель:
\( \sin 37^\circ + \sin 23^\circ = 2 \sin 30^\circ \cos 7^\circ \)

Аналогично, знаменатель — разность синусов, применим формулу:

\( \sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

\( = 2 \cos 30^\circ \sin 7^\circ \)

Тогда вся дробь:

\( \frac{2 \sin 30^\circ \cos 7^\circ}{2 \cos 30^\circ \sin 7^\circ} = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} \cdot \frac{\cos 7^\circ}{\sin 7^\circ} \)

Числовые значения:
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Вторая часть: \( \frac{\cos 7^\circ}{\sin 7^\circ} = \cot 7^\circ \)

Окончательный ответ:
\( \frac{\sqrt{3}}{3} \cot 7^\circ \)

б) Упростим выражение: \( \frac{\cos 20^\circ — \cos 140^\circ}{\cos 20^\circ + \cos 140^\circ} \)

В числителе — разность косинусов. Применим формулу:

\( \cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

\( A = 20^\circ, B = 140^\circ \Rightarrow \frac{A + B}{2} = 80^\circ, \frac{A — B}{2} = -60^\circ \)

\( \Rightarrow \cos 20^\circ — \cos 140^\circ = -2 \sin 80^\circ \sin(-60^\circ) \)

Поскольку \( \sin(-x) = -\sin x \), имеем:
\( = 2 \sin 80^\circ \sin 60^\circ \)

В знаменателе — сумма косинусов. Используем формулу:

\( \cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

\( = 2 \cos 80^\circ \cos 60^\circ \)

Итак, дробь:
\( \frac{2 \sin 80^\circ \sin 60^\circ}{2 \cos 80^\circ \cos 60^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} \cdot \tan 80^\circ \)

Подставляем:
\( \frac{\sqrt{3}}{2} \div \frac{1}{2} = \sqrt{3} \)

Ответ:
\( \sqrt{3} \tan 80^\circ \)

в) Упростим: \( \frac{\sin 55^\circ — \sin 35^\circ}{\cos 55^\circ + \cos 35^\circ} \)

В числителе разность синусов:

\( \sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

\( A = 55^\circ, B = 35^\circ \Rightarrow \frac{A + B}{2} = 45^\circ, \frac{A — B}{2} = 10^\circ \)

\( \Rightarrow \text{Числитель} = 2 \cos 45^\circ \sin 10^\circ \)

В знаменателе — сумма косинусов:

\( \cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) = 2 \cos 45^\circ \cos 10^\circ \)

Подставим в дробь:
\( \frac{2 \cos 45^\circ \sin 10^\circ}{2 \cos 45^\circ \cos 10^\circ} = \frac{\sin 10^\circ}{\cos 10^\circ} = \tan 10^\circ \)

г) Выражение: \( \frac{\cos \alpha — \cos \beta}{\sin \alpha + \sin \beta} \)

Числитель: разность косинусов:

\( \cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

Знаменатель: сумма синусов:

\( \sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

Сокращаем:
\( \frac{-2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha — \beta}{2}}{2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha — \beta}{2}} = -\tan \frac{\alpha — \beta}{2} \)

Частный пример:
\( \alpha = 25^\circ, \beta = 85^\circ \Rightarrow \frac{\cos 25^\circ — \cos 85^\circ}{\sin 25^\circ + \sin 85^\circ} = \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

д) \( \frac{\cos \alpha — \cos \beta}{\cos \alpha + \cos \beta} \)

Формулы:

Числитель: \( -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha — \beta}{2} \)

Знаменатель: \( 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha — \beta}{2} \)

Тогда:
\( \frac{-2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha — \beta}{2}}{2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha — \beta}{2}} = -\tan \frac{\alpha + \beta}{2} \tan \frac{\alpha — \beta}{2} \)

Или, с заменой порядка:
\( \tan \frac{\beta — \alpha}{2}\cot \frac{\alpha + \beta}{2} \)

е) \( \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\sin \alpha — \sin \beta} \)

Числитель: \( 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha — \beta}{2} \)

Знаменатель: \( 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha — \beta}{2} \)

Сокращаем:
\( \frac{\sin \frac{\alpha + \beta}{2}}{\cos \frac{\alpha + \beta}{2}} \cdot \frac{\cos \frac{\alpha — \beta}{2}}{\sin \frac{\alpha — \beta}{2}} = \tan \frac{\alpha + \beta}{2} \cot \frac{\alpha — \beta}{2} \)

ж) \( \frac{\cos(45^\circ — \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ — \alpha) + \sin(45^\circ + \alpha)} \)

Числитель:
\( \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A — B}{2} \)

\( A = 45^\circ — \alpha, B = 45^\circ + \alpha \Rightarrow \frac{A + B}{2} = 45^\circ, \frac{A — B}{2} = -\alpha \)

Получаем: \( 2 \cos 45^\circ \cos \alpha \)

Знаменатель:
\( \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A — B}{2} = 2 \sin 45^\circ \cos \alpha \)

Сокращаем:
\( \frac{2 \cos 45^\circ \cos \alpha}{2 \sin 45^\circ \cos \alpha} = \frac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \cot 45^\circ = 1 \)

Или, если порядок аргументов другой — может быть \( \cot \alpha \)