ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1482 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Дано выражение: \( 2 \sin 27^\circ \cos 9^\circ \)

Это произведение синуса и косинуса с коэффициентом 2. Для преобразования воспользуемся тождеством:

\( 2 \sin A \cos B = \sin(A + B) + \sin(A — B) \)

Подставим значения: \( A = 27^\circ, \quad B = 9^\circ \). Тогда:

\( 2 \sin 27^\circ \cos 9^\circ = \sin(27^\circ + 9^\circ) + \sin(27^\circ — 9^\circ) = \sin 36^\circ + \sin 18^\circ \)

Это и есть искомое представление в виде суммы двух синусов.

б) Дано: \( -2 \sin 25^\circ \sin 15^\circ \)

Используем тождество для произведения синусов:

\( 2 \sin A \sin B = \cos(A — B) — \cos(A + B) \)

Учитывая минус перед выражением, получаем:

\( -2 \sin A \sin B = \cos(A + B) — \cos(A — B) \)

Подставим значения: \( A = 25^\circ, \quad B = 15^\circ \)

Тогда:
\( -2 \sin 25^\circ \sin 15^\circ = \cos(40^\circ) — \cos(10^\circ) \)

в) Дано: \( 2 \sin a \cos 3a \)

Это стандартная форма тождества:

\( 2 \sin A \cos B = \sin(A + B) + \sin(A — B) \)

Подставим: \( A = a, \quad B = 3a \), получаем:

\( \sin(4a) + \sin(-2a) \)

Учитывая нечётность функции синуса: \( \sin(-x) = -\sin x \), имеем:

\( \sin 4a — \sin 2a \)

г) Дано: \( 2 \cos 2a \cos a \)

Применим тождество для произведения двух косинусов:

\( 2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A — B) \)

Подставим: \( A = 2a, \quad B = a \). Тогда:

\( \cos(3a) + \cos(a) \)

д) Дано: \( \cos(x + 1) \cos(x — 1) \)

Применим тождество:

\( \cos A \cos B = \frac{1}{2} \left( \cos(A — B) + \cos(A + B) \right) \)

Подставим: \( A = x + 1, \quad B = x — 1 \)

Тогда:

\( A — B = 2, \quad A + B = 2x \)

Значит:
\( \cos(x + 1) \cos(x — 1) = \frac{1}{2} (\cos 2 + \cos 2x) \)

е) Дано: \( 2 \sin(a + b) \cos(a — b) \)

Это точное применение тождества:

\( 2 \sin A \cos B = \sin(A + B) + \sin(A — B) \)

Подставим: \( A = a + b, \quad B = a — b \). Тогда:

\( A + B = 2a, \quad A — B = 2b \)

Значит:
\( 2 \sin(a + b) \cos(a — b) = \sin 2a + \sin 2b \)

ж) Дано: \( \sin(m + n) \sin(m — n) \)

Используем тождество:

\( \sin A \sin B = \frac{1}{2} (\cos(A — B) — \cos(A + B)) \)

Подставим: \( A = m + n, \quad B = m — n \)

Тогда:

\( A — B = 2n, \quad A + B = 2m \)

Значит:
\( \sin(m + n) \sin(m — n) = \frac{1}{2} (\cos 2n — \cos 2m) \)

з) Дано: \( \sin(2x + 3) \sin(x — 3) \)

Применим всё ту же формулу:

\( \sin A \sin B = \frac{1}{2} (\cos(A — B) — \cos(A + B)) \)

Подставим: \( A = 2x + 3, \quad B = x — 3 \)

Тогда:

\( A — B = (2x + 3) — (x — 3) = x + 6 \)

\( A + B = (2x + 3) + (x — 3) = 3x \)

Получаем:
\( \sin(2x + 3) \sin(x — 3) = \frac{1}{2} (\cos(x + 6) — \cos 3x) \)