ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1481 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Преобразуйте в произведение:
а) \( \sin^2 \alpha — \sin^2 \beta; \)
б) \( \cos^2 \alpha — \cos^2 \beta; \)
в) \( \frac{3}{4} — \sin^2 x; \)
г) \( \sin^2 x — \frac{1}{2}. \)
Представить в виде произведения:
а) \( \sin^2 a — \sin^2 \beta = (\sin a — \sin \beta)(\sin a + \sin \beta) = \)
\( = 2 \sin \frac{a — \beta}{2} \cos \frac{a + \beta}{2} \cdot 2 \sin \frac{a + \beta}{2} \cos \frac{a — \beta}{2} = \)
\( = \sin(a — \beta) \sin(a + \beta); \)
б) \( \cos^2 a — \cos^2 \beta = (\cos a — \cos \beta)(\cos a + \cos \beta) = \)
\( = -2 \sin \frac{a — \beta}{2} \sin \frac{a + \beta}{2} \cdot 2 \cos \frac{a — \beta}{2} \cos \frac{a + \beta}{2} = \)
\( = \sin(\beta — a) \sin(a + \beta); \)
в) \( \frac{3}{4} — \sin^2 x = \left( \sin \frac{\pi}{3} — \sin x \right) \left( \sin \frac{\pi}{3} + \sin x \right) = \)
\( = 2 \sin \left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) \cdot 2 \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) = \)
\( = \sin \left( \frac{\pi}{3} — x \right) \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right); \)
г) \( \sin^2 x — \frac{1}{2} = \left( \sin x — \sin \frac{\pi}{4} \right) \left( \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \right) = \)
\( = 2 \sin \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \cdot 2 \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \cos \left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) = \)
\( = \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right). \)
а) Дано выражение: \( \sin^2 \alpha — \sin^2 \beta \)
Это разность квадратов: \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \), применим:
\( \sin^2 \alpha — \sin^2 \beta = (\sin \alpha — \sin \beta)(\sin \alpha + \sin \beta) \)
Используем тождество разности синусов:
\( \sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)
\( \sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)
Тогда:
\( (\sin \alpha — \sin \beta)(\sin \alpha + \sin \beta) = \)
\( = 2 \cos\left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin\left( \frac{\alpha — \beta}{2} \right) \cdot 2 \sin\left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha — \beta}{2} \right) \)
Перемножим:
\( = 4 \sin\left( \frac{\alpha — \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha — \beta}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \)
Применим формулу \( 2 \sin A \cos A = \sin 2A \):
\( = \sin(\alpha — \beta) \cdot \sin(\alpha + \beta) \)
б) Дано выражение: \( \cos^2 \alpha — \cos^2 \beta \)
Это также разность квадратов:
\( \cos^2 \alpha — \cos^2 \beta = (\cos \alpha — \cos \beta)(\cos \alpha + \cos \beta) \)
Используем тождества:
\( \cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)
\( \cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)
Получим:
\( (\cos \alpha — \cos \beta)(\cos \alpha + \cos \beta) = \)
\( = -2 \sin\left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin\left( \frac{\alpha — \beta}{2} \right) \cdot 2 \cos\left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha — \beta}{2} \right) \)
Перемножим:
\( = -4 \sin\left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{\alpha — \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha — \beta}{2} \right) \)
Используем \( 2 \sin A \cos A = \sin 2A \), тогда:
\( = -\sin(\alpha + \beta) \cdot \sin(\alpha — \beta) = \sin(\beta — \alpha) \cdot \sin(\alpha + \beta) \)
в) Дано выражение: \( \frac{3}{4} — \sin^2 x \)
Заметим: \( \frac{3}{4} = \sin^2\left( \frac{\pi}{3} \right) \), так как \( \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Тогда:
\( \frac{3}{4} — \sin^2 x = \sin^2\left( \frac{\pi}{3} \right) — \sin^2 x \)
Это разность квадратов:
\( = (\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) — \sin x)(\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) + \sin x) \)
Применим формулы:
\( \sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)
\( \sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)
\( A = \frac{\pi}{3},\quad B = x \Rightarrow \frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2},\quad \frac{A — B}{2} = \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \)
Получаем:
\( = 2 \cos\left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) \sin\left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) \cdot 2 \sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) \cos\left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) \)
Сгруппируем и применим формулу:
\( = 4 \sin\left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) \cos\left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) \cos\left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) \)
Используем \( 2 \sin A \cos A = \sin 2A \):
\( = \sin\left( \frac{\pi}{3} — x \right) \cdot \sin\left( \frac{\pi}{3} + x \right) \)
г) \( \sin^2 x — \frac{1}{2} \)
Заметим: \( \frac{1}{2} = \sin^2\left( \frac{\pi}{4} \right) \)
Тогда:
\( \sin^2 x — \frac{1}{2} = \sin^2 x — \sin^2\left( \frac{\pi}{4} \right) \)
Это разность квадратов:
\( = (\sin x — \sin\left( \frac{\pi}{4} \right))(\sin x + \sin\left( \frac{\pi}{4} \right)) \)
Применим тождества:
\( \sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)
\( \sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)
\( A = x,\quad B = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \frac{A + B}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8},\quad \frac{A — B}{2} = \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \)
Тогда:
\( = 2 \cos\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \sin\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) \cdot 2 \sin\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \cos\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) \)
Сгруппируем:
\( = \sin\left( x — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.