ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1480 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Дано: \( 1 + 2 \cos x \)

Преобразуем выражение: \( 1 + 2 \cos x = 2\left( \frac{1}{2} + \cos x \right) \)

Заметим, что \( \frac{1}{2} = \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) \), а также \( \cos x \) можем представить как \( \cos x = \cos x \)

Тогда сумма: \( \frac{1}{2} + \cos x = \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) + \cos x \)

Применяем формулу суммы косинусов:

\( \cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

\( A = \frac{\pi}{3},\quad B = x \Rightarrow \frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2},\quad \frac{A — B}{2} = \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \)

Тогда:

\( 1 + 2 \cos x = 2 \cdot 2 \cos\left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) \cos\left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) =\)

\(4 \cos\left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) \cos\left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) \)

б) Дано: \( \sqrt{3} — 2 \sin x \)

Перепишем: \( \sqrt{3} — 2 \sin x = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} — \sin x \right) \)

Заметим: \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \)

Тогда выражение: \( \frac{\sqrt{3}}{2} — \sin x = \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) — \sin x \)

Применяем разность синусов:

\( \sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

\( A = \frac{\pi}{3},\quad B = x \Rightarrow \frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2},\quad \frac{A — B}{2} = \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \)

Тогда:

\( \sqrt{3} — 2 \sin x = 2 \cdot 2 \cos\left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) \sin\left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) =\)

\(4 \sin\left( \frac{\pi}{6} — \frac{x}{2} \right) \cos\left( \frac{\pi}{6} + \frac{x}{2} \right) \)

в) Дано: \( 2 \sin x + \sqrt{2} \)

Преобразуем: \( 2 \sin x + \sqrt{2} = 2 \left( \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)

Заметим: \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) \)

Тогда:
\( \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x + \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) \)

Используем формулу суммы синусов:

\( \sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

\( A = x,\quad B = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \frac{A + B}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8},\quad \frac{A — B}{2} = \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \)

Следовательно:

\( 2 \sin x + \sqrt{2} = 2 \cdot 2 \sin\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \cos\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) =\)

\(4 \sin\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \cos\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) \)

г) Дано: \( 2 \cos x — \sqrt{2} \)

Преобразуем: \( 2 \cos x — \sqrt{2} = 2 \left( \cos x — \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)

Заметим: \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) \)

Тогда:
\( \cos x — \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos x — \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) \)

Используем формулу разности косинусов:

\( \cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

\( A = x,\quad B = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \frac{A + B}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8},\quad \frac{A — B}{2} = \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \)

Тогда:

\( 2 \cos x — \sqrt{2} = 2 \cdot (-2) \sin\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \sin\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) =\)

\(-4 \sin\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \sin\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) \)

Или в положительной форме:
\( = 4 \sin\left( \frac{\pi}{8} — \frac{x}{2} \right) \sin\left( \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2} \right) \)

д) \( \sqrt{3} + 2 \cos x = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \right) \)

Заметим: \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) \)

Тогда:
\( \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos x + \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) \)

Применим:
\( \cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

\( A = x,\quad B = \frac{\pi}{6} \Rightarrow \frac{A + B}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{12},\quad \frac{A — B}{2} = \frac{x}{2} — \frac{\pi}{12} \)

Ответ:
\( \sqrt{3} + 2 \cos x = 4 \cos\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} \right) \cos\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{12} \right) \)

е) \( 2 \sin x — \sqrt{2} = 2 \left( \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)

\( \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) \Rightarrow \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x — \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) \)

Применим:
\( \sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

\( A = x,\quad B = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \frac{A + B}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8},\quad \frac{A — B}{2} = \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \)

Получаем:
\( 2 \sin x — \sqrt{2} = 2 \cdot 2 \cos\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \sin\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) =\)

\(4 \sin\left( \frac{x}{2} — \frac{\pi}{8} \right) \cos\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \)