ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1479 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Представьте в виде произведения:
а) \( \sin \alpha + \frac{1}{2}; \)
б) \( \frac{1}{2} — \sin \alpha; \)
в) \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos \alpha; \)
г) \( \cos \alpha — \frac{\sqrt{3}}{2}; \)
д) \( \frac{\sqrt{2}}{2} — \sin \alpha; \)
е) \( \sin \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}; \)
ж) \( \cos \alpha + \frac{1}{2}; \)
з) \( \frac{1}{2} — \cos \alpha. \)
Представить в виде произведения:
а) \( \sin \alpha + \frac{1}{2} = \sin \alpha + \sin \frac{\pi}{6} = 2 \sin \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12} \right) \cos \left( \frac{\alpha}{2} — \frac{\pi}{12} \right); \)
б) \( \frac{1}{2} — \sin \alpha = \sin \frac{\pi}{6} — \sin \alpha = 2 \sin \left( \frac{\pi}{12} — \frac{\alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2} \right); \)
в) \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos \alpha = \cos \frac{\pi}{6} + \cos \alpha = 2 \cos \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{12} — \frac{\alpha}{2} \right); \)
г) \( \cos \alpha — \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \alpha — \cos \frac{\pi}{6} = 2 \sin \left( \frac{\pi}{12} — \frac{\alpha}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12} \right); \)
д) \( \frac{\sqrt{2}}{2} — \sin \alpha = \sin \frac{\pi}{4} — \sin \alpha = 2 \sin \left( \frac{\pi}{8} — \frac{\alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2} \right); \)
е) \( \sin \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \alpha + \sin \frac{\pi}{4} = 2 \sin \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \cos \left( \frac{\alpha}{2} — \frac{\pi}{8} \right); \)
ж) \( \cos \alpha + \frac{1}{2} = \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{3} = 2 \cos \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \cos \left( \frac{\alpha}{2} — \frac{\pi}{6} \right); \)
з) \( \frac{1}{2} — \cos \alpha = \cos \frac{\pi}{3} — \cos \alpha = 2 \sin \left( \frac{\alpha}{2} — \frac{\pi}{6} \right) \sin \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2} \right). \)
а) Дано выражение: \( \sin \alpha + \frac{1}{2} \)
Заметим, что константа \( \frac{1}{2} \) является значением синуса угла \( \frac{\pi}{6} \), то есть:
\( \frac{1}{2} = \sin\left( \frac{\pi}{6} \right) \)
Следовательно, исходное выражение можно переписать как:
\( \sin \alpha + \sin\left( \frac{\pi}{6} \right) \)
Используем тождество суммы синусов:
\( \sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)
Здесь:
\( A = \alpha, \quad B = \frac{\pi}{6} \)
Вычислим полусумму и полуразность аргументов:
\( \frac{A + B}{2} = \frac{\alpha + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12} \)
\( \frac{A — B}{2} = \frac{\alpha — \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\alpha}{2} — \frac{\pi}{12} \)
Подставим в формулу:
\( \sin \alpha + \frac{1}{2} = 2 \sin\left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12} \right) \cos\left( \frac{\alpha}{2} — \frac{\pi}{12} \right) \)
Таким образом, выражение представлено в виде произведения двух тригонометрических функций.
б) Дано выражение: \( \frac{1}{2} — \sin \alpha \)
Аналогично, \( \frac{1}{2} = \sin\left( \frac{\pi}{6} \right) \), поэтому:
\( \frac{1}{2} — \sin \alpha = \sin\left( \frac{\pi}{6} \right) — \sin \alpha \)
Используем тождество разности синусов:
\( \sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)
Подставим:
\( A = \frac{\pi}{6}, \quad B = \alpha \)
Тогда:
\( \frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2} \),
\( \frac{A — B}{2} = \frac{\pi}{12} — \frac{\alpha}{2} \)
Следовательно:
\( \frac{1}{2} — \sin \alpha = 2 \cos\left( \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2} \right) \sin\left( \frac{\pi}{12} — \frac{\alpha}{2} \right) \)
Это произведение синуса и косинуса с новыми аргументами, представляющее исходную разность.
в) Дано: \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos \alpha \)
Поскольку \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) \), запишем выражение как:
\( \cos \alpha + \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) \)
Используем формулу:
\( \cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)
\( A = \alpha, \quad B = \frac{\pi}{6} \) → полусумма и полуразность:
\( \frac{A + B}{2} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12} \)
\( \frac{A — B}{2} = \frac{\alpha}{2} — \frac{\pi}{12} \)
Получаем:
\( \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos \alpha = 2 \cos\left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12} \right) \cos\left( \frac{\alpha}{2} — \frac{\pi}{12} \right) \)
То есть выражение сведено к произведению двух косинусов.
г) \( \cos \alpha — \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Снова используем: \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) \)
Получаем: \( \cos \alpha — \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) \)
Применим тождество:
\( \cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)
Полусумма и полуразность:
\( \frac{\alpha + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12} \)
\( \frac{\alpha — \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\alpha}{2} — \frac{\pi}{12} \)
Значит:
\( \cos \alpha — \frac{\sqrt{3}}{2} = -2 \sin\left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12} \right) \sin\left( \frac{\alpha}{2} — \frac{\pi}{12} \right) \)
Или в положительном виде:
\( = 2 \sin\left( \frac{\pi}{12} — \frac{\alpha}{2} \right) \sin\left( \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{2} \right) \)
д) Дано выражение: \( \frac{\sqrt{2}}{2} — \sin \alpha \)
Заметим, что \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) \), так как синус угла \( \frac{\pi}{4} \) равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Перепишем исходное выражение:
\( \frac{\sqrt{2}}{2} — \sin \alpha = \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) — \sin \alpha \)
Применим тождество разности синусов:
\( \sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)
Где \( A = \frac{\pi}{4},\quad B = \alpha \)
Тогда:
\( \frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2} \),
\( \frac{A — B}{2} = \frac{\pi}{8} — \frac{\alpha}{2} \)
Получаем:
\( \frac{\sqrt{2}}{2} — \sin \alpha = 2 \cos\left( \frac{\pi}{8} + \frac{\alpha}{2} \right) \sin\left( \frac{\pi}{8} — \frac{\alpha}{2} \right) \)
е) Выражение: \( \sin \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Как и раньше: \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) \)
Значит:
\( \sin \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \alpha + \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) \)
Применим тождество:
\( \sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)
Пусть \( A = \alpha,\quad B = \frac{\pi}{4} \)
Тогда:
\( \frac{A + B}{2} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{8} \),
\( \frac{A — B}{2} = \frac{\alpha}{2} — \frac{\pi}{8} \)
Ответ:
\( \sin \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sin\left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{8} \right) \cos\left( \frac{\alpha}{2} — \frac{\pi}{8} \right) \)
ж) Выражение: \( \cos \alpha + \frac{1}{2} \)
Здесь \( \frac{1}{2} = \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) \)
Тогда:
\( \cos \alpha + \frac{1}{2} = \cos \alpha + \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) \)
Используем:
\( \cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)
\( A = \alpha,\quad B = \frac{\pi}{3} \)
Тогда:
\( \frac{A + B}{2} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6} \),
\( \frac{A — B}{2} = \frac{\alpha}{2} — \frac{\pi}{6} \)
Ответ:
\( \cos \alpha + \frac{1}{2} = 2 \cos\left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \cos\left( \frac{\alpha}{2} — \frac{\pi}{6} \right) \)
з) Выражение: \( \frac{1}{2} — \cos \alpha \)
Опять же, \( \frac{1}{2} = \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) \)
Тогда:
\( \frac{1}{2} — \cos \alpha = \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) — \cos \alpha \)
Применим тождество:
\( \cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)
\( A = \frac{\pi}{3},\quad B = \alpha \)
Тогда:
\( \frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2} \),
\( \frac{A — B}{2} = \frac{\pi}{6} — \frac{\alpha}{2} \)
Значит:
\( \frac{1}{2} — \cos \alpha = 2 \sin\left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \sin\left( \frac{\pi}{6} — \frac{\alpha}{2} \right) \)
Это и есть искомое представление выражения в виде произведения двух синусов.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.