ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1478 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:

а) \( \cos x + \sin y; \)

б) \( \sin x — \cos y; \)

в) \( \sin \alpha + \cos \alpha; \)

г) \( \cos \alpha — \sin \alpha; \)

д) \( \cos 3\alpha — \sin \alpha; \)

е) \( \sin \alpha + \cos 3\alpha; \)

ж) \( \sin 2\alpha — \cos \alpha; \)

з) \( \cos \alpha + \sin 2\alpha. \)

Представить в виде произведения:

а) \( \cos x + \sin y = \cos x + \cos \left( \frac{\pi}{2} — y \right) = \)

\( = 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x — y}{2} \right) \cos \left( \frac{x + y}{2} — \frac{\pi}{4} \right); \)

б) \( \sin x — \cos y = \sin x — \sin \left( \frac{\pi}{2} — y \right) = \)

\( = 2 \sin \left( \frac{x + y}{2} — \frac{\pi}{4} \right) \cos \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x — y}{2} \right); \)

в) \( \sin a + \cos a = \sin a + \sin \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = \)

\( = 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \left( a — \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cos \left( a — \frac{\pi}{4} \right); \)

г) \( \cos a — \sin a = \cos a — \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = \)

\( = -2 \sin \frac{\pi}{4} \sin \left( a — \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} — a \right); \)

д) \( \cos 3a — \sin a = \cos 3a — \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = 2 \sin \left( \frac{\pi}{4} + a \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} — 2a \right); \)

е) \( \sin a + \cos 3a = \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right) + \cos 3a = 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} + a \right) \cos \left( \frac{\pi}{4} — 2a \right); \)

ж) \( \sin 2a — \cos a = \sin 2a — \sin \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = 2 \sin \left( \frac{3a}{2} — \frac{\pi}{4} \right) \cos \left( \frac{a}{2} + \frac{\pi}{4} \right); \)

з) \( \cos a + \sin 2a = \sin \left( \frac{\pi}{2} — a \right) + \sin 2a = 2 \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{a}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{4} — \frac{3a}{2} \right). \)

д) Выражение: \( \cos 3\alpha — \sin \alpha \)

Представим \( \sin \alpha \) в виде косинуса:
\( \sin \alpha = \cos\left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right) \), тогда:

\( \cos 3\alpha — \sin \alpha = \cos 3\alpha — \cos\left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right) \)

Используем формулу разности косинусов:
\( \cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

Введем обозначения: \( A = 3\alpha \), \( B = \frac{\pi}{2} — \alpha \)

Тогда:

\( \frac{A + B}{2} = \frac{3\alpha + \left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right)}{2} = \frac{2\alpha + \frac{\pi}{2}}{2} = \alpha + \frac{\pi}{4} \)

\( \frac{A — B}{2} = \frac{3\alpha — \left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right)}{2} = \frac{4\alpha — \frac{\pi}{2}}{2} = 2\alpha — \frac{\pi}{4} \)

Значит:

\( \cos 3\alpha — \sin \alpha = -2 \sin\left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) \sin\left( 2\alpha — \frac{\pi}{4} \right) \)

Переставим аргументы, чтобы убрать минус:

\( = 2 \sin\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \sin\left( \frac{\pi}{4} — 2\alpha \right) \)

е) Выражение: \( \sin \alpha + \cos 3\alpha \)

\( \sin \alpha = \cos\left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right) \), тогда:

\( \sin \alpha + \cos 3\alpha = \cos\left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right) + \cos 3\alpha \)

Применим формулу суммы косинусов:

\( \cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

Пусть \( A = \frac{\pi}{2} — \alpha \), \( B = 3\alpha \)

Тогда:

\( \frac{A + B}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} — \alpha + 3\alpha}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} + 2\alpha}{2} = \alpha + \frac{\pi}{4} \)

\( \frac{A — B}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} — \alpha — 3\alpha}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} — 4\alpha}{2} = \frac{\pi}{4} — 2\alpha \)

Следовательно:

\( \sin \alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos\left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) \cos\left( \frac{\pi}{4} — 2\alpha \right) \)

ж) Выражение: \( \sin 2\alpha — \cos \alpha \)

Представим \( \cos \alpha = \sin\left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right) \), тогда:

\( \sin 2\alpha — \cos \alpha = \sin 2\alpha — \sin\left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right) \)

Применим формулу разности синусов:

\( \sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

\( A = 2\alpha \), \( B = \frac{\pi}{2} — \alpha \)

Тогда:

\( \frac{A + B}{2} = \frac{2\alpha + \frac{\pi}{2} — \alpha}{2} = \frac{\alpha + \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \)

\( \frac{A — B}{2} = \frac{2\alpha — (\frac{\pi}{2} — \alpha)}{2} = \frac{3\alpha — \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{3\alpha}{2} — \frac{\pi}{4} \)

Поэтому:

\( \sin 2\alpha — \cos \alpha = 2 \cos\left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \sin\left( \frac{3\alpha}{2} — \frac{\pi}{4} \right) \)

з) Выражение: \( \cos \alpha + \sin 2\alpha \)

\( \cos \alpha = \sin\left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right) \), тогда:

\( \cos \alpha + \sin 2\alpha = \sin\left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right) + \sin 2\alpha \)

Применим формулу суммы синусов:

\( \sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

\( A = \frac{\pi}{2} — \alpha \), \( B = 2\alpha \)

Тогда:

\( \frac{A + B}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} — \alpha + 2\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} + \alpha \div 2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} \)

\( \frac{A — B}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} — \alpha — 2\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} — 3\alpha \div 2 = \frac{\pi}{4} — \frac{3\alpha}{2} \)

Значит:

\( \cos \alpha + \sin 2\alpha = 2 \sin\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2} \right) \cos\left( \frac{\pi}{4} — \frac{3\alpha}{2} \right) \)