ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1477 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:

а) \( \sin \frac{\pi}{5} + \sin \frac{3\pi}{5}; \)

б) \( \cos \frac{2\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{6}; \)

в) \( \sin \frac{3\pi}{10} — \sin \frac{\pi}{10}; \)

г) \( \cos \frac{\pi}{4} — \cos \frac{3\pi}{4}; \)

д) \( \sin \left( \frac{\pi}{6} + x \right) + \sin \left( \frac{\pi}{6} — x \right); \)

е) \( \sin \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) — \sin \left( \frac{\pi}{3} — \alpha \right); \)

ж) \( \cos \left( \frac{\pi}{3} — y \right) + \cos \left( \frac{\pi}{3} + y \right); \)

з) \( \cos \left( \frac{\pi}{6} — \beta \right) — \cos \left( \frac{\pi}{6} + \beta \right). \)

Представить в виде произведения:

а) \( \sin \frac{\pi}{5} + \sin \frac{3\pi}{5} = 2 \sin \frac{4\pi}{5 \cdot 2} \cos \frac{-2\pi}{5 \cdot 2} = 2 \sin \frac{2\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5}; \)

б) \( \cos \frac{2\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{6} = 2 \cos \frac{5\pi}{6 \cdot 2} \cos \frac{3\pi}{6 \cdot 2} = 2 \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{12}; \)

в) \( \sin \frac{3\pi}{10} — \sin \frac{\pi}{10} = 2 \sin \frac{2\pi}{10 \cdot 2} \cos \frac{4\pi}{10 \cdot 2} = 2 \sin \frac{\pi}{10} \cos \frac{\pi}{5}; \)

г) \( \cos \frac{\pi}{4} — \cos \frac{3\pi}{4} = -2 \sin \frac{-2\pi}{4 \cdot 2} \sin \frac{4\pi}{4 \cdot 2} = 2 \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{2}; \)

д) \( \sin \left( \frac{\pi}{6} + x \right) + \sin \left( \frac{\pi}{6} — x \right) = 2 \sin \frac{2x}{2} \cos \frac{\pi}{6 \cdot 2} = 2 \sin x \cos \frac{\pi}{6}; \)

е) \( \sin \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) — \sin \left( \frac{\pi}{3} — \alpha \right) = 2 \sin \frac{2\alpha}{2} \cos \frac{2\pi}{3 \cdot 2} = 2 \sin \alpha \cos \frac{\pi}{3}; \)

ж) \( \cos \left( \frac{\pi}{3} — y \right) + \cos \left( \frac{\pi}{3} + y \right) = 2 \cos \frac{2\pi}{3 \cdot 2} \cos \frac{-2y}{2} = 2 \cos \frac{\pi}{3} \cos y; \)

з) \( \cos \left( \frac{\pi}{6} — \beta \right) — \cos \left( \frac{\pi}{6} + \beta \right) = -2 \sin \frac{2\beta}{2} \sin \frac{-2\beta}{2} = 2 \sin \frac{\pi}{6} \sin \beta. \)

а) Преобразуем выражение \( \sin \frac{\pi}{5} + \sin \frac{3\pi}{5} \). Это — сумма синусов двух разных углов, которую можно упростить по формуле суммы синусов:

\[
\sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)
\]

Здесь \( A = \frac{\pi}{5} \), \( B = \frac{3\pi}{5} \). Вычислим полусумму и полуразность:

Полусумма: \( \frac{A + B}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} + \frac{3\pi}{5}}{2} = \frac{4\pi}{5 \cdot 2} = \frac{2\pi}{5} \)

Полуразность: \( \frac{A — B}{2} = \frac{\frac{\pi}{5} — \frac{3\pi}{5}}{2} = \frac{-2\pi}{10} = -\frac{\pi}{5} \)

Поскольку \( \cos(-x) = \cos x \), можно записать:

\[
\sin \frac{\pi}{5} + \sin \frac{3\pi}{5} = 2 \sin \frac{2\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5}
\]

Ответ: \( 2 \sin \frac{2\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5} \)

б) Рассмотрим сумму косинусов \( \cos \frac{2\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{6} \). Воспользуемся формулой:

\[
\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)
\]

Подставим: \( A = \frac{2\pi}{3} \), \( B = \frac{\pi}{6} \)

Полусумма:
\[
\frac{\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{4\pi + \pi}{6}}{2} = \frac{5\pi}{6 \cdot 2} = \frac{5\pi}{12}
\]

Полуразность:
\[
\frac{\frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{4\pi — \pi}{6}}{2} = \frac{3\pi}{6 \cdot 2} = \frac{\pi}{4}
\]

Следовательно:
\[
\cos \frac{2\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{6} = 2 \cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{4}
\]

Ответ: \( 2 \cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{\pi}{4} \)

в) Разность синусов: \( \sin \frac{3\pi}{10} — \sin \frac{\pi}{10} \). Используем формулу:

\[
\sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)
\]

\( A = \frac{3\pi}{10}, \quad B = \frac{\pi}{10} \)

Полусумма:
\[
\frac{3\pi + \pi}{10 \cdot 2} = \frac{4\pi}{20} = \frac{\pi}{5}
\]

Полуразность:
\[
\frac{3\pi — \pi}{10 \cdot 2} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10}
\]

\[
\sin \frac{3\pi}{10} — \sin \frac{\pi}{10} = 2 \cos \frac{\pi}{5} \cdot \sin \frac{\pi}{10}
\]

Ответ: \( 2 \sin \frac{\pi}{10} \cos \frac{\pi}{5} \)

г) Разность косинусов: \( \cos \frac{\pi}{4} — \cos \frac{3\pi}{4} \). Формула:

\[
\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)
\]

\( A = \frac{\pi}{4}, \quad B = \frac{3\pi}{4} \)

Полусумма:
\[
\frac{\pi + 3\pi}{4 \cdot 2} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2}
\]

Полуразность:
\[
\frac{\pi — 3\pi}{4 \cdot 2} = \frac{-2\pi}{8} = -\frac{\pi}{4}
\]

Учитывая \( \sin(-x) = -\sin x \), имеем:
\[
-2 \sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin(-\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \sin \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{4} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}
\]

Ответ: \( 2 \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{2} \)

д) Выражение: \( \sin\left( \frac{\pi}{6} + x \right) + \sin\left( \frac{\pi}{6} — x \right) \)

Формула:
\[
\sin A + \sin B = 2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)
\]

\( A = \frac{\pi}{6} + x, \quad B = \frac{\pi}{6} — x \)

Полусумма:
\[
\frac{A + B}{2} = \frac{2\pi}{6 \cdot 2} = \frac{\pi}{6}
\]

Полуразность:
\[
\frac{A — B}{2} = \frac{2x}{2} = x
\]

\[
\sin\left( \frac{\pi}{6} + x \right) + \sin\left( \frac{\pi}{6} — x \right) = 2 \sin \frac{\pi}{6} \cos x = \cos x
\]

Ответ: \( 2 \sin x \cos \frac{\pi}{6} \)

е) Разность синусов: \( \sin\left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) — \sin\left( \frac{\pi}{3} — \alpha \right) \)

Формула:
\[
\sin A — \sin B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)
\]

\( A = \frac{\pi}{3} + \alpha, \quad B = \frac{\pi}{3} — \alpha \)

Полусумма:
\[
\frac{2\pi}{3 \cdot 2} = \frac{\pi}{3}, \quad \text{полуразность: } \alpha
\]

\[
\sin\left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) — \sin\left( \frac{\pi}{3} — \alpha \right) = 2 \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin \alpha
\]

Ответ: \( 2 \sin \alpha \cos \frac{\pi}{3} \)

ж) Сумма косинусов: \( \cos\left( \frac{\pi}{3} — y \right) + \cos\left( \frac{\pi}{3} + y \right) \)

Формула:
\[
\cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)
\]

\( A = \frac{\pi}{3} — y, \quad B = \frac{\pi}{3} + y \)

Полусумма:
\[
\frac{2\pi}{6 \cdot 2} = \frac{\pi}{3}, \quad \text{полуразность: } -y
\]

Так как \( \cos(-y) = \cos y \), имеем:
\[
\cos\left( \frac{\pi}{3} — y \right) + \cos\left( \frac{\pi}{3} + y \right) = 2 \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos y
\]

Ответ: \( 2 \cos \frac{\pi}{3} \cos y \)

з) Разность косинусов: \( \cos\left( \frac{\pi}{6} — \beta \right) — \cos\left( \frac{\pi}{6} + \beta \right) \)

Формула:
\[
\cos A — \cos B = -2 \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)
\]

\( A = \frac{\pi}{6} — \beta, \quad B = \frac{\pi}{6} + \beta \)

Полусумма:
\[
\frac{A + B}{2} = \frac{2\pi}{6 \cdot 2} = \frac{\pi}{6}, \quad \text{полуразность: } -\beta
\]

Учитывая, что \( \sin(-\beta) = -\sin \beta \), получаем:
\[
\cos\left( \frac{\pi}{6} — \beta \right) — \cos\left( \frac{\pi}{6} + \beta \right) = 2 \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin \beta
\]

Ответ: \( 2 \sin \frac{\pi}{6} \sin \beta \)