ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1476 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения:

а) \( \sin 25^\circ + \sin 35^\circ; \)

б) \( \sin 130^\circ — \sin 10^\circ; \)

в) \( \cos 80^\circ + \cos 20^\circ; \)

г) \( \cos 18^\circ — \cos 78^\circ; \)

д) \( \sin 3 + \sin 1; \)

е) \( \sin 2 — \sin 5; \)

ж) \( \cos 4 + \cos 7; \)

з) \( \cos 3 — \cos 2. \)

Представить в виде произведения:

а) \( \sin 25^\circ + \sin 35^\circ = 2 \sin \frac{60^\circ}{2} \cos \left( \frac{-10^\circ}{2} \right) = \)

\( = 2 \sin 30^\circ \cos 5^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos 5^\circ = \cos 5^\circ; \)

б) \( \sin 130^\circ — \sin 10^\circ = 2 \sin \frac{120^\circ}{2} \cdot \cos \frac{140^\circ}{2} = \)

\( = 2 \sin 60^\circ \cos 70^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 70^\circ = \sqrt{3} \cos 70^\circ; \)

в) \( \cos 80^\circ + \cos 20^\circ = 2 \cos \frac{100^\circ}{2} \cdot \cos \frac{60^\circ}{2} = \)

\( = 2 \cos 50^\circ \cos 30^\circ = 2 \cos 50^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cos 50^\circ; \)

г) \( \cos 18^\circ — \cos 78^\circ = -2 \sin \frac{-60^\circ}{2} \sin \frac{96^\circ}{2} = \)

\( = 2 \sin 30^\circ \sin 48^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \sin 48^\circ = \sin 48^\circ; \)

д) \( \sin 3 + \sin 1 = 2 \sin \frac{4}{2} \cos \frac{2}{2} = 2 \sin 2 \cos 1; \)

е) \( \sin 2 — \sin 5 = 2 \sin \frac{-3}{2} \cos \frac{7}{2} = -2 \sin \frac{3}{2} \cos \frac{7}{2}; \)

ж) \( \cos 4 + \cos 7 = 2 \cos \frac{11}{2} \cos \frac{-3}{2} = 2 \cos \frac{3}{2} \cos \frac{11}{2}; \)

з) \( \cos 3 — \cos 2 = -2 \sin \frac{1}{2} \sin \frac{5}{2}. \)

а) Представим \( \sin 25^\circ + \sin 35^\circ \) в виде произведения.

Используем формулу:
\[
\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

Здесь \( A = 25^\circ, B = 35^\circ \), тогда:

\[
\frac{A + B}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ, \quad \frac{A — B}{2} = \frac{-10^\circ}{2} = -5^\circ
\]

\[
\sin 25^\circ + \sin 35^\circ = 2 \sin 30^\circ \cos(-5^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos 5^\circ = \cos 5^\circ
\]

Ответ: \( \cos 5^\circ \)

б) Преобразуем \( \sin 130^\circ — \sin 10^\circ \).

Формула:
\[
\sin A — \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

\( A = 130^\circ, B = 10^\circ \Rightarrow \frac{A + B}{2} = 70^\circ, \frac{A — B}{2} = 60^\circ \)

\[
\sin 130^\circ — \sin 10^\circ = 2 \cos 70^\circ \sin 60^\circ = 2 \cos 70^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cos 70^\circ
\]

Ответ: \( \sqrt{3} \cos 70^\circ \)

в) Преобразуем сумму косинусов \( \cos 80^\circ + \cos 20^\circ \).

Формула:
\[
\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

\( A = 80^\circ, B = 20^\circ \Rightarrow \frac{A + B}{2} = 50^\circ, \frac{A — B}{2} = 30^\circ \)

\[
\cos 80^\circ + \cos 20^\circ = 2 \cos 50^\circ \cos 30^\circ = 2 \cos 50^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cos 50^\circ
\]

Ответ: \( \sqrt{3} \cos 50^\circ \)

г) Представим \( \cos 18^\circ — \cos 78^\circ \) в виде произведения.

Формула:
\[
\cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

\( A = 18^\circ, B = 78^\circ \Rightarrow \frac{A + B}{2} = 48^\circ, \frac{A — B}{2} = -30^\circ \)

\[
\cos 18^\circ — \cos 78^\circ = -2 \sin 48^\circ \sin(-30^\circ) = 2 \sin 48^\circ \cdot \frac{1}{2} = \sin 48^\circ
\]

Ответ: \( \sin 48^\circ \)

д) Преобразуем \( \sin 3 + \sin 1 \).

Формула:
\[
\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

\( A = 3, B = 1 \Rightarrow \frac{A + B}{2} = 2, \frac{A — B}{2} = 1 \)

\[
\sin 3 + \sin 1 = 2 \sin 2 \cos 1
\]

Ответ: \( 2 \sin 2 \cos 1 \)

е) Преобразуем \( \sin 2 — \sin 5 \).

Формула:
\[
\sin A — \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

\( A = 2, B = 5 \Rightarrow \frac{A + B}{2} = 3.5, \frac{A — B}{2} = -1.5 \)

\[
\sin 2 — \sin 5 = 2 \cos 3.5 \cdot \sin(-1.5) = -2 \cos 3.5 \cdot \sin 1.5
\]

Ответ: \( -2 \sin 1.5 \cos 3.5 \)

ж) Преобразуем \( \cos 4 + \cos 7 \).

Формула:
\[
\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

\( A = 4, B = 7 \Rightarrow \frac{A + B}{2} = 5.5, \frac{A — B}{2} = -1.5 \)

\[
\cos 4 + \cos 7 = 2 \cos 5.5 \cos 1.5
\]

Ответ: \( 2 \cos 1.5 \cos 5.5 \)

з) Преобразуем \( \cos 3 — \cos 2 \).

Формула:
\[
\cos A — \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)
\]

\( A = 3, B = 2 \Rightarrow \frac{A + B}{2} = 2.5, \frac{A — B}{2} = 0.5 \)

\[
\cos 3 — \cos 2 = -2 \sin 2.5 \sin 0.5
\]

Ответ: \( -2 \sin 0.5 \sin 2.5 \)