ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1475 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) \( \sin(\alpha — 30^\circ) — \sin(\alpha + 30^\circ) = -\cos \alpha; \)

б) \( \cos(\alpha + 60^\circ) + \cos(\alpha — 60^\circ) = \cos \alpha. \)

Доказать тождество:

а) \( \sin(a — 30^\circ) — \sin(a + 30^\circ) = -\cos a; \)

\( 2 \sin \left( \frac{-60^\circ}{2} \right) \cdot \cos \frac{2a}{2} = -\cos a; \)

\( -2 \sin 30^\circ \cos a = -\cos a; \)

\( -2 \cdot \frac{1}{2} \cos a = -\cos a; \)

\( -\cos a = -\cos a; \)

Тождество доказано.

б) \( \cos(a + 60^\circ) + \cos(a — 60^\circ) = \cos a; \)

\( 2 \cos \frac{2a}{2} \cdot \cos \frac{120^\circ}{2} = \cos a; \)

\( 2 \cos a \cos 60^\circ = \cos a; \)

\( \cos a = \cos a; \)

Тождество доказано.

Докажем тождество:

а) \( \sin(\alpha — 30^\circ) — \sin(\alpha + 30^\circ) = -\cos \alpha \)

Шаг 1. Используем формулу разности синусов:

\( \sin A — \sin B = 2 \sin\left( \frac{A — B}{2} \right) \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \)

Пусть \( A = \alpha — 30^\circ \), \( B = \alpha + 30^\circ \). Тогда:

\( \frac{A — B}{2} = \frac{(\alpha — 30^\circ) — (\alpha + 30^\circ)}{2} = \frac{-60^\circ}{2} = -30^\circ \)

\( \frac{A + B}{2} = \frac{(\alpha — 30^\circ) + (\alpha + 30^\circ)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha \)

Тогда:

\( \sin(\alpha — 30^\circ) — \sin(\alpha + 30^\circ) = 2 \sin(-30^\circ) \cos \alpha \)

Известно, что \( \sin(-30^\circ) = -\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2} \)

Подставим:

\( 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \cos \alpha = -\cos \alpha \)

Левая часть равна правой:

\( -\cos \alpha = -\cos \alpha \)

Тождество доказано.

б) \( \cos(\alpha + 60^\circ) + \cos(\alpha — 60^\circ) = \cos \alpha \)

Шаг 1. Используем формулу суммы косинусов:

\( \cos A + \cos B = 2 \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cos\left( \frac{A — B}{2} \right) \)

Пусть \( A = \alpha + 60^\circ \), \( B = \alpha — 60^\circ \). Тогда:

\( \frac{A + B}{2} = \frac{(\alpha + 60^\circ) + (\alpha — 60^\circ)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha \)

\( \frac{A — B}{2} = \frac{(\alpha + 60^\circ) — (\alpha — 60^\circ)}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \)

Тогда:

\( \cos(\alpha + 60^\circ) + \cos(\alpha — 60^\circ) = 2 \cos \alpha \cos 60^\circ \)

Известно, что \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)

Подставим:

\( 2 \cos \alpha \cdot \frac{1}{2} = \cos \alpha \)

Левая часть равна правой:

\( \cos \alpha = \cos \alpha \)

Тождество доказано.