ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1474 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

\( \begin{cases} x^2 — y^2 = -\frac{3}{2}xy, \\ x^2 + xy = -3y. \end{cases} \)

Решить систему уравнений:

\( \begin{cases} x^2 — y^2 = -\frac{3}{2}xy, \\ x^2 + xy = -3y. \end{cases} \)

1) Первое уравнение:

\( x^2 + \frac{3}{2}xy — y^2 = 0, \quad 2x^2 + 3yx — 2y^2 = 0; \)

\( D = (3y)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2y^2 = 9y^2 + 16y^2 = 25y^2, \text{ тогда:} \)

\( x_1 = \frac{-3y — 5y}{2 \cdot 2} = -2y \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3y + 5y}{2 \cdot 2} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2}; \)

2) Первое значение:

\( 4y^2 — 2y^2 = -3y; \)

\( 2y^2 + 3y = 0; \)

\( y(2y + 3) = 0; \)

\( y_1 = 0, \quad x_1 = 0; \quad y_2 = -1.5, \quad x_2 = 3; \)

3) Второе значение:

\( \frac{y^2}{4} + \frac{y^2}{2} = -3y; \)

\( y^2 + 2y^2 = -12y; \)

\( 3y^2 + 12y = 0; \)

\( 3y(y + 4) = 0; \)

\( y_3 = 0, \quad x_1 = 0; \quad y_4 = -4, \quad x_2 = -2; \)

Ответ: \((-2; -4); (0; 0); (3; -1.5). \)

Рассмотрим систему уравнений:

\( \begin{cases} x^2 — y^2 = -\frac{3}{2}xy, \\ x^2 + xy = -3y. \end{cases} \)

Шаг 1. Преобразуем первое уравнение

Перенесем все члены в одну сторону:

\( x^2 — y^2 + \frac{3}{2}xy = 0 \)

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

\( 2x^2 — 2y^2 + 3xy = 0 \Rightarrow 2x^2 + 3xy — 2y^2 = 0 \)

Рассматриваем это уравнение как квадратное относительно \( x \). Приведённое квадратное уравнение:

\( 2x^2 + 3y x — 2y^2 = 0 \)

Решим его через дискриминант:

\( D = (3y)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2y^2 = 9y^2 + 16y^2 = 25y^2 \)

Тогда:

\( x_1 = \frac{-3y — \sqrt{25y^2}}{2 \cdot 2} = \frac{-3y — 5y}{4} = -2y \)

\( x_2 = \frac{-3y + \sqrt{25y^2}}{2 \cdot 2} = \frac{-3y + 5y}{4} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2} \)

Шаг 2. Подставим \( x_1 = -2y \) во второе уравнение системы

Второе уравнение: \( x^2 + xy = -3y \)

Подставим \( x = -2y \):

\( (-2y)^2 + (-2y) \cdot y = -3y \)

\( 4y^2 — 2y^2 = -3y \Rightarrow 2y^2 + 3y = 0 \)

Вынесем \( y \) за скобку:

\( y(2y + 3) = 0 \)

Решения: \( y = 0 \) или \( y = -\frac{3}{2} \)

Подставим в \( x = -2y \):

При \( y = 0 \Rightarrow x = 0 \)

При \( y = -\frac{3}{2} \Rightarrow x = 3 \)

Получаем два решения: \( (0; 0) \) и \( (3; -1.5) \)

Шаг 3. Подставим \( x_2 = \frac{y}{2} \) во второе уравнение

Второе уравнение: \( x^2 + xy = -3y \)

Подставим \( x = \frac{y}{2} \):

\( \left( \frac{y}{2} \right)^2 + \frac{y}{2} \cdot y = -3y \)

\( \frac{y^2}{4} + \frac{y^2}{2} = -3y \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{y^2 + 2y^2}{4} = \frac{3y^2}{4} \Rightarrow \frac{3y^2}{4} = -3y \)

Умножим обе части на 4:

\( 3y^2 = -12y \Rightarrow 3y^2 + 12y = 0 \Rightarrow 3y(y + 4) = 0 \)

Решения: \( y = 0 \) или \( y = -4 \)

Подставим в \( x = \frac{y}{2} \):

При \( y = 0 \Rightarrow x = 0 \)

При \( y = -4 \Rightarrow x = -2 \)

Получаем ещё два решения: \( (0; 0) \) (уже было) и \( (-2; -4) \)

Окончательный ответ:

\( (0; 0), \quad (3; -1.5), \quad (-2; -4) \)