ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1473 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \( \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} — a\right) — \sin a; \)

б) \( \sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) — \cos a. \)

Упростить выражение:

а) \( \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} — a\right) — \sin a = \)

\( = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos a + \sin \frac{\pi}{4} \sin a \right) — \sin a = \)

\( = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \right) — \sin a = \)

\( = \cos a + \sin a — \sin a = \cos a; \)

б) \( \sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) — \cos a = \)

\( = \sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cos a + \cos \frac{\pi}{4} \sin a \right) — \cos a = \)

\( = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \right) — \cos a = \)

\( = \cos a + \sin a — \cos a = \sin a; \)

Упростим выражение:

а) \( \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} — a\right) — \sin a \)

Применим формулу косинуса разности:
\( \cos(\alpha — \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)

В нашем случае \( \alpha = \frac{\pi}{4}, \beta = a \), тогда:

\( \cos\left(\frac{\pi}{4} — a\right) = \cos \frac{\pi}{4} \cos a + \sin \frac{\pi}{4} \sin a \)

Теперь подставим в выражение:

\( \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} — a\right) — \sin a = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos a + \sin \frac{\pi}{4} \sin a \right) — \sin a \)

Известно, что \( \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), тогда:

\( \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \right) — \sin a \)

Вынесем \( \sqrt{2} \) внутрь скобок:

\( = \left( \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cos a + \left( \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \sin a — \sin a \)

Так как \( \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \), получаем:

\( \cos a + \sin a — \sin a = \cos a \)

Ответ: \( \cos a \)

б) \( \sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) — \cos a \)

Применим формулу синуса суммы:
\( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)

В нашем случае \( \alpha = \frac{\pi}{4}, \beta = a \), тогда:

\( \sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \sin \frac{\pi}{4} \cos a + \cos \frac{\pi}{4} \sin a \)

Подставим в выражение:

\( \sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cos a + \cos \frac{\pi}{4} \sin a \right) — \cos a \)

Известно, что \( \sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), тогда:

\( \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \right) — \cos a \)

Перемножим:

\( \left( \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cos a + \left( \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \sin a — \cos a \)

\( = \cos a + \sin a — \cos a = \sin a \)

Ответ: \( \sin a \)