ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1472 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение \( \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 0. \)

Решить уравнение:

\( \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 0; \)

\( \sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} + \cos x \cos \frac{\pi}{6} + \sin x \sin \frac{\pi}{6} = 0; \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x = 0; \)

\( \frac{1}{2} (\sqrt{3} + 1)(\sin x + \cos x) = 0; \)

\( \sin x + \cos x = 0; \)

\( \tan x + 1 = 0; \)

\( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \)

Ответ: \( -\frac{\pi}{4} + \pi n. \)

Рассмотрим уравнение: \( \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 0 \)

Первый шаг — раскрываем обе функции с помощью формул суммы углов:

Формула для синуса суммы:
\( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)

Применим её к \( \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \):
\( \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6} \)

Формула для косинуса разности:
\( \cos(A — B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)

Применим её к \( \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) \):
\( \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = \cos x \cos\frac{\pi}{6} + \sin x \sin\frac{\pi}{6} \)

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

\( \left( \sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6} \right) + \left( \cos x \cos\frac{\pi}{6} + \sin x \sin\frac{\pi}{6} \right) = 0 \)

Раскроем скобки:

\( \sin x \cos\frac{\pi}{6} + \cos x \sin\frac{\pi}{6} + \cos x \cos\frac{\pi}{6} + \sin x \sin\frac{\pi}{6} = 0 \)

Перегруппируем члены по \( \sin x \) и \( \cos x \):

\( \sin x \left( \cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6} \right) + \cos x \left( \sin\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{6} \right) = 0 \)

Теперь подставим численные значения тригонометрических функций:
\( \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \),
\( \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \)

Подставим их в уравнение:

\( \sin x \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \right) + \cos x \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 0 \)

Так как \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \), получаем:

\( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \cos x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \) за скобки:

\( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \cdot (\sin x + \cos x) = 0 \)

Так как \( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \ne 0 \), можем разделить обе части уравнения на этот множитель:

\( \sin x + \cos x = 0 \)

Теперь преобразуем это уравнение. Перенесём \( \cos x \) в правую часть:

\( \sin x = -\cos x \)

Разделим обе части на \( \cos x \) (при \( \cos x \ne 0 \)):

\( \frac{\sin x}{\cos x} = -1 \Rightarrow \tan x = -1 \)

Решим уравнение \( \tan x = -1 \)

Общее решение: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \)