ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1471 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Решите уравнение:

\( \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = 0 \)

Решение:

Воспользуемся формулой перехода от косинуса к синусу:

\( \cos\left(x — \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} — \left(x — \frac{\pi}{6}\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} — x\right) \)

Тогда уравнение перепишется как:

\( \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} — x\right) = 0 \)

Используем формулу суммы синусов:

\( \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A — B}{2}\right) \)

Положим:

\( A = x + \frac{\pi}{6}, \quad B = \frac{\pi}{3} — x \)

Найдём полусумму и полуразность:

\( \frac{A + B}{2} = \frac{x + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} — x}{2} = \frac{\pi}{4} \)

\( \frac{A — B}{2} = \frac{x + \frac{\pi}{6} — (\frac{\pi}{3} — x)}{2} = \frac{2x — \frac{\pi}{6}}{2} = x — \frac{\pi}{12} \)

Тогда:

\( \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} — x\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(x — \frac{\pi}{12}\right) \)

\( 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{12}\right) = \sqrt{2} \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{12}\right) \)

Итак, исходное уравнение становится:

\( \sqrt{2} \cdot \cos\left(x — \frac{\pi}{12}\right) = 0 \Rightarrow \cos\left(x — \frac{\pi}{12}\right) = 0 \)

Решаем:

\( x — \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n + \frac{\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} + \pi n \)

Ответ: \( x = \frac{7\pi}{12} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

Дополнительно: Найдите наибольшее и наименьшее значения функций.

а) \( f(x) = \cos 2x + 3 \sin^2 x \)

Применим формулу:

\( \cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x \Rightarrow \cos 2x + 3 \sin^2 x = \cos^2 x + 2 \sin^2 x \)

\( = (1 — \sin^2 x) + 2 \sin^2 x = 1 + \sin^2 x \)

Поскольку \( 0 \le \sin^2 x \le 1 \), получаем:

\( 1 \le f(x) \le 2 \)

Ответ: наименьшее значение — 1, наибольшее — 2.

б) \( f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x \)

Используем тождество:

\( \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 — 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 — 2 \sin^2 x \cos^2 x \)

Также известно, что \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x \)

Тогда:

\( \sin^4 x + \cos^4 x = 1 — \frac{1}{2} \sin^2 2x \)

Так как \( 0 \le \sin^2 2x \le 1 \), то:

\( \frac{1}{2} \le f(x) \le 1 \)

Ответ: наименьшее значение — \( \frac{1}{2} \), наибольшее — 1.