ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1470 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача: Докажите неравенство:

а) \( \sin 2x < 2 \sin x \), если \( 0 < x < \pi \);

б) \( \sin 2x < 2 \cos x \), если \( -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \).

а) Доказательство:

Рассмотрим левую часть:

\( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)

Подставим это в исходное неравенство:

\( 2 \sin x \cos x < 2 \sin x \)

Разделим обе части на 2 (всё положительно):

\( \sin x \cos x < \sin x \)

Теперь можно разделить обе части на \( \sin x \), но нужно учесть область:

На интервале \( 0 < x < \pi \), функция \( \sin x > 0 \)

Тогда делим на \( \sin x \):

\( \cos x < 1 \)

Это верно для всех \( x \in (0, \pi) \), так как:

\( \cos x < 1 \quad \text{на всём интервале } (0, \pi) \), и даже \( \cos x = 1 \) только в точке \( x = 0 \), которая не входит в интервал.

Вывод: Неравенство выполнено на всём промежутке \( (0, \pi) \).

Ответ: Неравенство доказано.

б) Доказательство:

Воспользуемся формулой:

\( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)

Подставим:

\( 2 \sin x \cos x < 2 \cos x \)

Разделим обе части на 2:

\( \sin x \cos x < \cos x \)

В пределах \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \) функция \( \cos x > 0 \), поэтому делим обе части на \( \cos x \):

\( \sin x < 1 \)

Это всегда верно, так как \( \sin x < 1 \) для всех \( x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \).

Вывод: Неравенство выполнено на всём интервале \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \).

Ответ: Неравенство доказано.