ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1467 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача:

Доказать тождества:

а) \( 1 + \sin \alpha = 2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\alpha}{2} \right) \)
б) \( 1 — \sin \alpha = 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\alpha}{2} \right) \)

а) Доказательство тождества:

\( 1 + \sin \alpha = 2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\alpha}{2} \right) \)

Вспомним формулу понижения степени:

\( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \)

Обозначим: \( x = \frac{\pi}{4} — \frac{\alpha}{2} \), тогда:

\( 2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\alpha}{2} \right) =
2 \cdot \frac{1 + \cos \left( 2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\alpha}{2} \right) \right)}{2} =
1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right) \)

А по формуле приведения:

\( \cos \left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right) = \sin \alpha \)

Тогда:

\( 1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right) = 1 + \sin \alpha \)

Таким образом:

\( 2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\alpha}{2} \right) = 1 + \sin \alpha \)

Тождество доказано.

б) Доказательство тождества:

\( 1 — \sin \alpha = 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\alpha}{2} \right) \)

Используем формулу понижения степени для синуса:

\( \sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2} \)

Пусть \( x = \frac{\pi}{4} — \frac{\alpha}{2} \), тогда:

\( 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\alpha}{2} \right) =
2 \cdot \frac{1 — \cos \left( 2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\alpha}{2} \right) \right)}{2} =
1 — \cos \left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right) \)

По формуле приведения:

\( \cos \left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right) = \sin \alpha \)

Получаем:

\( 1 — \cos \left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right) = 1 — \sin \alpha \)

Значит:

\( 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\alpha}{2} \right) = 1 — \sin \alpha \)

Тождество доказано.